逼近拟合中的基本概念

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1、逼近拟合中的基本概念邹昌文引言插值问题中控制误差的度量标准几个概念常用范数其它概念内积的概念有关定理(证明见P66)称为格拉姆(Gram)矩阵，则G非奇异的充分必要条件是u1,…,un线性无关权函数的概念定义设称为函数在区间[a,b]上的内积.其中为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件:函数内积的定义容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.函数的欧几里得范数定义设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.数据拟合函数逼近最佳一致逼近最佳平方逼近超定方程组的最小二乘解仍然是已知x1…xm;

2、y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)f(x)。但是①m很大；②yi本身是测量值，不准确，即yif(xi)这时没必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)yi总体上尽可能小。常见做法：使最小/minimaxproblem/太复杂使最小不可导，求解困难使最小/Least-Squaresmethod/多项式拟合最小二乘拟合多项式/L-Sapproximatingpolynomials/对应法方程（或正规方程组/normalequations/）为：回归系数/regressioncoefficient

3、s/定理5.证明：记法方程组为Ba=c.则有其中对任意，必有。若不然，则存在一个使得…即是n阶多项式的根则B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。广义多项式拟合定义线性无关/linearlyindependent/函数族{0(x),1(x),…,n(x),…}满足条件：其中任意函数的线性组合a00(x)+a11(x)+…+ann(x)=0对任意x[a,b]成立当且仅当a0=a1=…=an=0。定义考虑一般的线性无关函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}，其有限项的线性组合称为

4、广义多项式/generalizedpolynomial/.常见广义多项式：{j(x)=xj}对应代数多项式/algebraicpolynomial/{j(x)=cosjx}、{j(x)=sinjx}{j(x),j(x)}对应三角多项式/trigonometricpolynomial/{j(x)=,kikj}对应指数多项式/exponentialpolynomial/定义广义L-S拟合：①离散型/*discretetype*/在点集{x1…xm}上测得{y1…ym}，在一组权系数{w1…wm}下

5、求广义多项式P(x)使得误差函数最小。=-=niiiiyxPw12])([②连续型/*continuoustype*/已知y(x)C[a,b]以及权函数(x)，求广义多项式P(x)使得误差函数=最小。dxxyxPxba2)]()([)(-r内积与范数离散型连续型则易证(f,g)是内积，而是范数。(f,g)=0表示f与g带权正交。广义L-S问题可叙述为：求广义多项式P(x)使得最小。nkyaknjjjk,...,0,),(),(0===jjj设则完全类似地有：)(...)()()(1100xaxaxax

6、Pnnjjj+++=法方程组/*normalequations*/即：),(),(),(00yyaabnnjiijjjjj===c例：用来拟合，w1解：0(x)=1，1(x)=x，2(x)=x2例：连续型拟合中，取则Hilbert阵！改进：若能取函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}，使得任意一对i(x)和j(x)两两（带权）正交，则B就化为对角阵！这时直接可算出ak=正交多项式的构造：将正交函数族中的k取为k阶多项式，为简单起见，可取k的首项系数为1。有递推关系式：其中例：用来

7、拟合，w1解：通过正交多项式0(x),1(x),2(x)求解设)()()(221100xaxaxayjjj++=1)(0=xj229),(),(0000==jjjya25),(),(00001==jjjjax25)()()(011-=-=xxxxjaj537),(),(1111==jjjya25),(),(11112==jjjjax45),(),(00111==jjjjb55)(45)()25()(2012+-=--=xxxxxxjjj21),(),(2222==jjjya与前例结果一致。注：手算时也可用待

8、定系数法确定函数族。