《一元函数微积分》习题解答第四章

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1、4-1习题解答1、（1）是一阶微分方程；（2）不是微分方程；（3）是一阶微分方程；（4）是二阶微分方程；（5）是一阶微分方程；（6）是一阶微分方程。2、（1）（B）是特解（C）是通解；（2）(A)是特解（B）是通解；（3）（A）是通解（B）是特解3、解：（1），又由，故满足初始条件的特解为；（2），又由，故满足初始条件的特解为。4、解：（1）由条件得；（2）设曲线为，则曲线上点处的法线斜率为，由条件知PQ中点的横坐标为0，所以Q点的坐标为，从而有注：4-2习题解答1、解：（1）由由给方程得即；（2）由所给方程得

2、；（3）由所给方程得注：为任意常数（4）由所给方程得；2、解：（1）由所给方程得，又由12，所以满足初始条件的特解为：；（2）由所给方程得，又由初始条件，故满足初始条件的特解为：；（3）由所给方程得又由初始条件，故满足初始条件的特解为：；（4）由所给方程得，又由初始条件得，故满足初始条件的特解为；（5）由原方程得，即，又由初始条件，故满足初始条件的特解为。3、解：由条件得微分方程，又由初始条件，故所求曲线为。注：图1（图２）4、解：由牛顿第二定律知，分离变量得，两边积分得，又由初始条件。125、解：（1）所给方

3、程为齐次微分方程即，令，代入前式得:，所以原方程的解为：；（2）由所给方程得，令，代入前式得，故原方程的解为：；（3）由所给方程得，令，代入前式得；（4）由所给方程得，令，代入前式得。6、解：（1）令，代入原方程得，即，又由初始条件，故满足初始条件的特解为：（2）由原方程得，令，代入原方程得，即，又由初始条件，故满足初始条件的特解为：；（3）由原方程得，令，代入原方程得12，又由初始条件，故满足初始条件的特解为：（因为；即，但仍是原方程的一个满足初始条件的特解）；（4）由原方程得，令，代入原方程得，又由初始条件

4、，故满足初始条件的特解为：。7、解：（1）此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：；（２）此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：；（３）此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：；（４）此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：。８、解：（１）此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：，又由初始条件，故满足初始条件的特解为：；12（２）此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：；又由初始条件，故满足初始条件的特解为：；（３）此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：；又由初始条

5、件，故满足初始条件的特解为：；（４）此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：；又由初始条件，故满足初始条件的特解为：。９、解：如图（２）因为，此方程为一阶线性微分方程，其中，所以其通解为：。习题4-31解：（1）由所给方程得，所以即；（2）令，由原方程得，即，所以；（3）令，代入原方程得，即12（4）令，代入原方程得，此为一阶线性微分方程，，故，即，所以原方程的通解为：（5）令，代入原方程得，此为一阶线性微分方程，，故，即，所以原方程的通解为：；（6）令，代入原方程得，分离变量得，所以原方程的通解为：。2

6、、解：（1）令，代入原方程得，分离变量得，又由初始条件，故满足初始条件的特解为：；（2）令，代入原方程得，分离变量得又由初始条件，故满足初始条件的特解为：；（3）令，代入原方程得，分离变量得12，又由初始条件，故满足初始条件的特解为：。3、解：以对应的物体位置为原点，垂直向下的直线为的正轴，建立如右图所示的坐标系，由题目条件得，当时，，从而，所以，由得，从而，又，故，即，也就是说，整理得，因此，又由得，所求的物体下落的距离与时间的函数关系为。4-4习题1、解：（1）因为，且是特征方程的根，所以，所给方程的特解的

7、待定形式为；（2）因为，且是特征方程的根，所以，所给方程的特解的待定形式为；（3）因为，且不是特征方程的根，所以，所给方程的特解的待定形式为；（4）因为，是特征方程的单根，是二次多项式，所以，所给方程的特解的待定形式为；12（5）因为，是特征方程的二重根，是零次多项式，所以，所给方程的特解的待定形式为；（6）因为，不是特征方程的根，是二次多项式，所以，所给方程的特解的待定形式为；（7）由重叠定理，原方程的特解是方程和的特解的和。对于方程，因为，是特征方程的单根，是零次多项式，所以，其特解的待定形式为；对于方程，

8、因为，是特征方程的单根，是一次多项式，所以，其特解的待定形式为；故方程的特解的待定形式为；（8）由重叠定理，原方程的特解是方程和的特解的和。对于方程，因为，且是特征方程的根，所以，其特解的待定形式为；对于方程，因为，且不是特征方程的根，所以，其特解的待定形式为；故方程的特解的待定形式为。2、解：（1）因为所给微分方程的导出组的特征方程为，特征根为，故导出组的通解为；又，是特征方程的单根