《一元函数微积分》习题解答3-7到3-9

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1、习题3-71、解：（1）如图（1）;（2）如图（2）；（3）如图（3）；（4）如图（4）。图(1)图(2)图(3)图(4)2、解：（1）如图（5）（2）如图（6），由对称性（3）如图（7），由对称性图（5）图（6）图（7）图（8）图（9）3、解：如图（8）因为，所以切线方程为，切线的交点坐标为，故。4、解：如图（9），令，得唯一驻点，由条件得，当时，面积最小。(另解5,这样可以不必求出f(a)的表达式)习题3-81、解：2、解：；3、解：4、解：（1）（2）由198页例3的结论得5、解：以下底中心为原点，截锥体中心线为轴建立坐标系（如右图）。在轴上坐标为的点处作垂直

2、于轴的截面，该截面为一椭圆，由三角形相似原理易得长半轴为，短半轴为，因而截面积为。所以截锥体的体积为6、解：建立如图的坐标系，设过点且垂直于轴的截面积为。已知此截面为等边三角形，由于底面是半径为的圆，所以相应于点的截面的底边长为，高为。因而。7、解：因为，所以。8、解：因为，所以9、解：因为函数的定义域为，且是以为周期的周期函数，又积分上限函数的积分下限为，故函数的定义区间为又，故有。10、解：由参数方程的弧长公式。511、解：由参数方程的弧长公式。12、解：由极坐标的弧长公式得。13、解：由极坐标的弧长公式得14、解：由极坐标的弧长公式得15、解：由参数方程的弧长

3、公式3-9习题1、解：由条件知为常数，故，设高度减少米时压强为，则，压力为故功的微元，因此2、解：因为，所以速度，阻力，又，所以，因此功的微元，从而所求之功。3、解：建立如图（1）坐标系，则椭圆的方程为图（1）而压力微元又20图（2）5因此注：第一个积分的计算用了定积分的几何意义即“上半圆的面积”，第二个定积分用了“奇函数”的积分性质。1、解：建立如图（2）的直角坐标系，直线AB的方程为，压力微元压力32、解：建立如图（3）的直角坐标系，功的微元，所以5m图（3）3、解：建立如图（4）的直角坐标，腰AC的方程为，压力微元3mA(0,0)故压力。BC(6,4)图(4)

4、4、解：下长边位于水深为，取内的小区间，压强，细条的面积为，故压力。8、解：以细棒的一端为原点，细棒为轴建立直角坐标系如图（5）所示，区间微元对质点M的引力为，它在轴和轴上的分量分别为，a图（5）故，9、解：建立坐标系如图（6），圆弧形细棒上一小段对质点M的引力，在轴上的分量为,故，由对称性得，故引力的大小为，方向自M点起指向圆弧中心。5图（6）5