多元函数微积分》习题解答第四章

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1、习题4－11．（1）记一般项为，则=，=，=，=，…故=（2）记一般项为，则=(-1)·，=(-1)·，=(-1)·，…故=(-1)·（3）记一般项为，则=，=，=，=，…故=（4）记一般项为，则=(-1)，=(-1)，=(-1)，…故=(-1)2．（1）（2）（3）（4）3．（1）该级数为几何级数，＝，由于，故该级数收敛。（2）该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散。（3）该级数为几何级数，，由于，故该级数发散。（4）设因为为的几何级数，为＝的几何级数，故，均为收敛级数，故原级数收敛。习题4－21．（1）因为，而级数发散，故该级数发散。（2）因为，而发散，故原级数发

2、散。（3）因为，而且收敛，故原级数收敛。（4）因为，而且收敛，故原级数收敛。2．（1），因为，故级数发散。（2）因为,故级数收敛。（3）因为,故级数收敛。（4）因为，故级数收敛。3.（1）因为，故级数收敛。（2）因为，故级数收敛。（3）因为，故级数收敛。（4）因为，故当时，，级数收敛；当时，，级数发散；当时，，无法判断。4．（1），而，故级数收敛（2），而，故级数收敛。（3）因为，而级数发散，故级数发散。(4）因为,故级数收敛。（5）因为，故级数发散。（6），而级数发散，从而发散，故原级数发散。5．（1），显然为一交错级数，且满足，，因而该级数收敛。又是的级数，所以发散，即原级数是条

3、件收敛。（2）对于，故收敛，从而原级数绝对收敛。（3），显然收敛，故原级数绝对收敛。（4），为一交错级数，又，且，故由莱布尼兹定理可知，原级数收敛。但由于，发散，故原级数是条件收敛。（5）因为，故级数发散。6．（1）因为为几何级数，且，其和为。（2）因为而由知，其和为由知，其和为故7．设排球每一次下落后的高度依次为:,反弹的总距离8．由已知可得：L=

4、CD

5、+

6、DE

7、+

8、EF

9、+

10、FG

11、+…=习题4-31．（1）当时，级数收敛，所以该级数的收敛域为（2）当时，级数收敛，当时，级数发散，所以该级数的收敛域为（3）该幂级数只含有奇次幂项，记，则有当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半

12、径当时，级数发散，所以该级数的收敛域为（4）该幂级数只含有偶次幂项，记，则有当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径当时，级数发散，所以收敛域为2．（1）设故（2）设（3）设则令故（4）设习题4-41．(1)（2）（3）设（4）（5）设（6）2．注：收敛域：3．（1）（2）4．设则5．由于很小，则习题4-51、解：（1）因为所以的傅氏展开式为。（2）因为（奇函数在以零为对称中心的区间上的定积分等于零）。所以的傅氏展开式为。（3）因为是奇函数，所以。所以的傅氏展开式为。2、解：（1）因为为偶函数，所以，而，由于在内连续，所以。（2）因为为奇函数，所以3．解：因为为偶函数，所以；令得

13、，且在上连续，4．解：作奇延拓，得,使有计算系数：5．解：作偶延拓：，计算系数：6．解：ⅰ：用正弦级数逼近：作奇延拓，由题知周期为，由系数公式：ⅱ：用余弦级数逼近：作偶延拓，由系数公式：