2000考研数一真题及解析

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1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)(2)曲面在点的法线方程为(3)微分方程的通解为(4)已知方程组无解，则(5)设两个相互独立的事件和都不发生的概率为,发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，则=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设是恒大于零的可导函数，且则当时，有()(A)(B)(C)(D)(2)设为在第一卦限中的部分，则有()(A)(B)(C

2、)(D)(3)设级数收敛，则必收敛的级数为()(A)(B)(C)(D)(4)设维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关的充分必要条件为()(A)向量组可由向量组线性表示.(B)向量组可由向量组线性表示.(C)向量组与向量组等价.(D)矩阵与矩阵等价.(5)设二维随机变量服从二维正态分布，则随机变量与不相关的充分必要条件为()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分5分)求四、(本题满分6分)设其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求五、(本题满分6分)计算曲线积分其中是以点为中心，为半径的圆周，取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于

3、半空间内任意的光滑有向封闭曲面,都有其中函数在内具有连续的一阶导数，且=求.七、(本题满分6分)求幂级数的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比(比例常数)，求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数在上连续，且试证：在内至少存在两个不同的点使十、(本题满分6分)设矩阵的伴随矩阵且其中为4阶单位矩阵，求矩阵.十一、(本题满分8分)某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新

4、的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为记成向量.(1)求与的关系式并写成矩阵形式：(2)验证是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；(3)当时，求十二、(本题满分8分)某流水生产线上每个产品不合格的概率为,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为,求的数学期望和方差.十三、(本题满分8分)设某种元件的使用寿命的概率密度为其中为未知参数，又设是的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值.2000年

5、全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】解法1：用换元积分法：设，当时，，所以下限取；当时，，所以上限取.所以由于在区间，函数非负，则解法2：由于曲线是以点为圆心，以1为半径的上半圆周，它与直线和所围图形的面积为圆面积的，故答案是(2)【答案】【详解】曲面方程在点的法矢量为：令则有所以曲面在点处的法线方程为：即(3)【答案】【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于型的微分方程.【详解】令，有.原方程化为：，分离变量：两端积分：从而因是大于零的任意常数，上式可写成；记，，便得方程的通解，即，其中是任意常数

6、对上式再积分，得：所以原方程的通解为：(4)【答案】【详解】化增广矩阵为阶梯形，有当a=−1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的判定，其系数矩阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解.当a=3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.(5)【答案】(由独立的定义：)【详解】由题设，有因为和相互独立，所以与，与也相互独立.于是由有即有,可得，从而解得二、选择题(1)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.

7、题设中已知想到设函数为相除的形式.【详解】设，则则在时单调递减，所以对，，即得，为正确选项.(2)【答案】C【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有：性质1：设在分块光滑曲面上连续，关于平面对称，则其中.性质2：设在分块光滑曲面上连续，关于平面对称，则其中.性质3：设在分块光滑曲面上连续，关于平面对称，则其中.【详解】方法1：直接法：本题中在平面上方，关于平面和平面均对称，而对均为偶函数，则又因为在上将换为，换为，换为，不变(称积分区域关于轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有.选项正确.方法2：间接法

8、(排除法)曲面关于平面对称，为的奇函数，所以，而中且仅在面上，从而，不成立.曲面关于平面对称，为的奇函数，所以，而，所以不成立.曲面关于平面对称，为的奇函数，所以，而，所以不成立.(3)设级数收敛，则必收敛