2000考研数二真题及解析

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1、Borntowin2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)(2)设函数由方程所确定，则(3)(4)曲线的斜渐近线方程为(5)设，为4阶单位矩阵，且则.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数在内连续，且则常数满足()(A)(B)(C)(D)(2)设函数满足关系式，且，则()(A)是的极大值.(B)是的极小值.(C)点是曲线的拐点.(D)不是的极值，点也不是曲线的拐点.(3)设是大于零的可

2、导函数，且则当时，有()(A)(B)Borntowin(C)(D)(4)若，则为()(A)0.(B)6.(C)36.(D).(5)具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分5分)设，计算.四、(本题满分5分)设平面上有正方形及直线.若表示正方形位于直线左下方部分的面积，试求.五、(本题满分5分)求函数在处的阶导数.六、(本题满分6分)设函数，(1)当为正整数，且时，证明；(2)求.七、(本题满分7分)某湖泊的水量为，每年排入湖泊内含污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖泊的水量为，已知1999年底湖中的含量为，超过国家规定指

3、标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含污水的浓度不超过.问至多需要经过多少年，湖泊中污染物的含量降至以内(注：设湖水中的浓度是均匀的)八、(本题满分6分)设函数在上连续，且，试证明：在Borntowin内至少存在两个不同的点，使九、(本题满分7分)已知是周期为5的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形.问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、(本题满分8分)函数在上可导，且满足等式(1)求导

4、数；(2)证明：当时，成立不等式成立十二、(本题满分6分)设.其中是的转置，求解方程十三、(本题满7分)已知向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表出，求的值.Borntowin2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】(2)设函数由方程所确定，则【答案】【详解】方法1：对方程两边求微分，有由所给方程知，当时.将，代入上式，有.所以，.方法2：两边对求导数，视为该方程确定的函数，有当时，以此代入，得，所以.(3)【答案】【详解】由于被积函数在处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.作积

5、分变量替换，令(4)【答案】Borntowin【公式】为的斜渐近线的计算公式：【详解】所以，方向有斜渐近线.当时，类似地有斜渐近线.总之，曲线的斜渐近线方程为.(5)【答案】【详解】先求出然后带入数值，由于，所以二、选择题(1)【答案】D【详解】排除法：如果，则在内的分母必有零点，从而在处不连续，与题设不符.不选，若，则无论还是均有与题设矛盾，不选和.故选.Borntowin(2)【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数在出具有二阶导数且，，那么：(1)当时，函数在处取得极大值；(2)当时，函数在处取得极小值；【详解】令等式中，得，无法利用判断极值的第二充分条

6、件，故无法判断是否为极值或拐点.再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：以代入，有，所以.从而知，存在去心邻域，在此去心邻域内，与同号，于是推知在此去心邻域内当时曲线是凸的，在此去心临域内时曲线是凹的，点是曲线的拐点，选(C).(3)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知想到设函数为相除的形式.【详解】设，则则在时单调递减，所以对，，即得，为正确选项.(4)【答案】Borntowin【分析】本题有多种解法：(1)将含有的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之；(2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出代入要求

7、极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.【详解】方法1：凑成已知极限而(由于)所以方法2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出，从而所以方法3：将在处按佩亚诺余项泰勒公式展开至项：于是从而Borntowin(5)【答案】B【详解】由特解，对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与解的对应关系知道，为特征方程的二重根；由可知为特征方程的单根，因此特征方程为由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为三【详解】方法1：为了求不定积分，首先需要写出的表达式.为此，令，有分部积分拆项方法2：作积分