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时间:2019-09-11
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1、已知抛物线:(1)求抛物线的顶点坐标.(2)将抛物线向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线,求抛物线的解析式.(3)如下图,抛物线的顶点为P,轴上有一动点M,在、这两条抛物线上是否存在点N,使O(原点)、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形,若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由[提示:抛物线(≠0)的对称轴是顶点坐标是]解:(1)依题意∴,∴顶点坐标是(2,2)(2)根据题意可知y2解析式中的二次项系数为且y2的顶点坐标是(4,3)∴y2=-,即:y2=(3)符合条件的N点存在如图:若四边形OPMN为
2、符合条件的平行四边形,则∥,且∴,作轴于点A,轴于点B∴,则有(AAS)∴∵点P的坐标为(4,3)∴∵点N在抛物线、上,且P点为、的最高点∴符合条件的N点只能在轴下方①点N在抛物线上,则有:解得:或②点N在抛物线上,则有:解得:或∴符合条件的N点有四个:如图1,已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0,0),A(0,n),C(m,0).动点P从点O出发依次沿线段OA,AB,BC向点C移动,设移动路程为z,△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示.m,n是常数,m>1,n>0.(1)请你确定n的值和点B的坐标;(2
3、)当动点P是经过点O,C的抛物线y=ax2+bx+c的顶点,且在双曲线y=上时,求这时四边形OABC的面积.解:(1)从图中可知,当P从O向A运动时,△POC的面积S=mz,z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m,故OA=2,n=2.同理,AB=1,故点B的坐标是(1,2).(2)解:∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O(0,0),C(m,0),∴c=0,b=-am,∴抛物线为y=ax2-amx,顶点坐标为(,-am2).如图1,设经过点O,C,P的抛物线为l.当P在OA上运动时,O,P都在y轴上,这时P,O,C三点不可能
4、同在一条抛物线上,∴这时抛物线l不存在,故不存在m的值.当点P与C重合时,双曲线y=不可能经过P,故也不存在m的值.当P在AB上运动时,即当02,与x0=≤1不合,舍去容易求得直线BC的解析式是:,当P在BC上运动,设P的坐标为(x,y),当P是顶点时x=,故得y==,顶点P为(,),∵12,又∵P在双曲线y=上,于是,×=,化简后得5m-22m+22=0,解得,,与题意不合,舍去.④综上所述,满足条件的只有一个值:.这时四边
5、形OABC的面积==如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点P在AC上,PQ⊥BP,交CD于Q,PE⊥CD,交于CD于E,点P从A点(不含A)沿AC方向移动,直到使点Q与点C重合为止。(1)设AP=x,△PQE的面积为S,请写出S关于x的函数解析式,并确定x的取值范围。(2)点P在运动过程中,△PQE的面积是否有最大值?若有,请求出最大值及此时AP的取值;若无,请说明理由。解:(1)过点P作PF⊥BC,垂足为F,∵在矩形ABCD中,PF∥AB,∴△PFC∽△ABC,∴,又∵AP=x,BC=AD=1,AB=2又∵在Rt△
6、ABC中,AC=,∴PC=3-x,∴,∴FC=∴BF=BC-FC=,又∵PE⊥CD,∴∠PEC=90°又在四边形PFCE中,∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°∴四边形PFCE为矩形∴∠FPE=90°又∵PQ⊥BP∴∠BPQ=90°∴∠FPE=∠BPQ∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°∴△PEQ∽△PFB,又∴,又∴∴∴∴∴∴或过点B作BK⊥AC,垂足为K,在Rt△ABC中,由等积法可得AC·BK=AB·BC,∴AC·BK=AB·BC3×BK=2×1∴BK=由题意可得当Q
7、与C重合时,P与K重合即AP=AK,由△ABK∽△ABC得即∴x=∴x的取值范围是0<x≤;(2)△PQE面积有最大值,由(1)可得,∴当即时,S面积最大,即S最大=。已知抛物线y=-x2+2mx-m2+2的顶点A在第一象限,过点A作AB⊥y轴于点B,C是线段AB上一点(不与点A、B重合),过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P。(1)若点C(1,a)是线段AB的中点,求点P的坐标;(2)若直线AP交y轴的正半轴于点E,且AC=CP,求△OEP的面积S的取值范围。解:(1)依题意得顶点A的坐标为(2,a),设P(1,n)据
8、x=-,得A点的横坐标为m,即m=2,所以y=x2+4x-2,把P点的坐标代入得n=1,即P点的坐标为(1,1);(2)把抛物线化为顶点式:y=-(x-m)2+2,可知A(m,2),设C(n,2),把n代入y=-(x-m)2+2得y=-(n-m)2+2,所以P(n,-(n-m)2+2)∵A
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