二次函数综合习题

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1、已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由[提示：抛物线（≠0）的对称轴是顶点坐标是]解：（1）依题意∴，∴顶点坐标是（2，2）（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为且y2的顶点坐标是（4，3）∴y2＝－，即：y2＝（3）符合条件的N点存在如图：若四边形OPMN为

2、符合条件的平行四边形，则∥，且∴，作轴于点A，轴于点B∴，则有（AAS）∴∵点P的坐标为（4,3）∴∵点N在抛物线、上，且P点为、的最高点∴符合条件的N点只能在轴下方①点N在抛物线上，则有：解得：或②点N在抛物线上，则有：解得：或∴符合条件的N点有四个：如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数，m＞1，n＞0．（1）请你确定n的值和点B的坐标；（2

3、）当动点P是经过点O，C的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，且在双曲线y=上时，求这时四边形OABC的面积．解：(1)从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S=mz，z由0逐步增大到2，则S由0逐步增大到m，故OA=2，n=2.同理，AB=1，故点B的坐标是(1，2).(2)解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O(0，0)，C(m，0),∴c=0，b=-am，∴抛物线为y=ax2-amx，顶点坐标为(，-am2).如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.当P在OA上运动时，O，P都在y轴上，这时P，O，C三点不可能

4、同在一条抛物线上，∴这时抛物线l不存在，故不存在m的值.当点P与C重合时，双曲线y=不可能经过P，故也不存在m的值.当P在AB上运动时，即当02，与x0=≤1不合，舍去容易求得直线BC的解析式是：，当P在BC上运动，设P的坐标为(x，y)，当P是顶点时x=，故得y==，顶点P为(，)，∵12，又∵P在双曲线y=上，于是，×=，化简后得5m-22m+22=0，解得，，与题意不合,舍去.④综上所述，满足条件的只有一个值：.这时四边

5、形OABC的面积==如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E，点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止。（1）设AP=x，△PQE的面积为S，请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围。（2）点P在运动过程中，△PQE的面积是否有最大值？若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由。解：（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F，∵在矩形ABCD中，PF∥AB，∴△PFC∽△ABC，∴，又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2又∵在Rt△

6、ABC中，AC=，∴PC=3-x，∴，∴FC=∴BF=BC-FC=，又∵PE⊥CD，∴∠PEC=90°又在四边形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°∴四边形PFCE为矩形∴∠FPE=90°又∵PQ⊥BP∴∠BPQ=90°∴∠FPE=∠BPQ∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°∴△PEQ∽△PFB，又∴，又∴∴∴∴∴∴或过点B作BK⊥AC，垂足为K，在Rt△ABC中，由等积法可得AC·BK=AB·BC，∴AC·BK=AB·BC3×BK=2×1∴BK=由题意可得当Q

7、与C重合时，P与K重合即AP=AK，由△ABK∽△ABC得即∴x=∴x的取值范围是0＜x≤；（2）△PQE面积有最大值，由（1）可得，∴当即时，S面积最大，即S最大=。已知抛物线y=-x2+2mx-m2+2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P。（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求△OEP的面积S的取值范围。解：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），设P（1，n）据

8、x=-，得A点的横坐标为m，即m=2，所以y=x2+4x-2，把P点的坐标代入得n=1，即P点的坐标为（1，1）；（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）2+2，可知A（m，2），设C（n，2），把n代入y=-（x-m）2+2得y=-（n-m）2+2，所以P（n，-（n-m）2+2）∵A