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1、解题方法无理数的大小比较及估算江苏省宝应县画川中学朱月丹自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过.而比较两个无理数的大小,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法直接写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如:π,2等等,但这给比较它们的大小带来了一定的困难.那么,究竟如何比较两个无理数的大小呢?要比较两个无理数的大小,首先应明确以前学过的有理数大小比较方法对于实数也适用,即:(1)借助数轴:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;(2)根据数的符号性质:①正数大于零和一切负数,零大于一切负数;②两个
2、正数相比较,绝对值大的较大;③两个负数相比较,往往先求其绝对值,其中绝对值大的反而小.其次,对于无理数常用的比较方法还有:用近似值代替无理数进行比较,或根据被开方数的大小确定一些无理数的大小.下面以两个正无理数的大小比较为例,介绍一些常用的比较方法.1.两个含有根号的无理数,若根指数相同,则被开方数大的这个数就大.例1比较32与23的大小.分析此题看似不能直接比较,但若将根号外的数平方后移入根号,问题就迎刃而解了.22解∵32=3×2=18,23=2×3=12,而18>12,∴32>23.20解题方法2.关联不大的无理数可借助计算器(机),用其近似值加以比较.22π例2比较与的大小.32
3、分析此题显然不能通过比较被开方数的大小来解决,我们可以用计算器求出其近似值加以比较.22π解∵≈1.563472,≈1.57079633,3222π而1.563472<1.57079633,∴<.323.对于有些特殊的无理数,还有一些特殊的比较方法.例3比较6+1与2+3的大小.22解∵(6+1)=7+26,(2+3)=7+43,而26<43(根据例1中的比较方法),∴6+1<2+3.评注这种解法称为“平方法”.例4比较12-11与11-10的大小.1解∵12-11=,11-10=12+111,11+1011显然12+11>11+10,故<,12+1111+10∴12-11<11-10.
4、评注这种解法称为倒数法.此题是将两个无理数从差21解题方法的形式转变成和的形式进行比较的.你思考过13-12与12-11哪个大吗?14-13与13-12呢⋯⋯你有什么发现?在解题中发现规律,在解题中培养能力,这是具备数学素养的重要标志之一,只要善于思考,勤于归纳,你一定会有所得.n2004年有这样一道中考题:试通过计算器计算来探讨n与n+1n+1(n≥3)的大小关系.这道题咋看无从下手,题目没有给我们指明具体的探索方法,只是提出通过计算器的计算来探讨,这让我们想到:是否可以借助计算器计算出若干对特殊的值进行比较?3456n如可先计算3,4,5,6等,从而我们发现并归纳出n≤n+1n+1.
5、4.有理数中比较两个数的大小,常用作差或作商的方法,对于无理数的比较这同样是常用的方法.353例5设a=2-1,不计算a与a的值,比较a与5a的大小.如果a=3-1或2-3,那么结论如何?35分析我们可以把a与a相减,将结果与0相比较,就35知道a与a的大小.这里可估计出a=2-1的范围,00,1-a>0,3535∴a-a>0,即a>a.35同理可得,当a=3-1时,a>a.请思考:当a=2-3时,结论如何?此题如果改成:设a=22-1,试比较a+2a+3与4a+
6、2的大小,你能解决吗?上题中无理数的大小比较用到了对无理数范围的估计.新课程提高了对同学们估算能力的要求,因为在不少情况下,并不需要知道其准确值.在涉及无理数的有关问题中尤为明显.5-1例6估计与0.5哪个大.222解题方法1分析将0.5写成,故本题实际只需估计5-1与12哪个大,而2<5<3,因此1<5-1<2,5-1所以,>0.5.2在这里估计2<5<3是关键.请利用本题的思想解答:已知10的整数部分为a,小数部分为b,试比较a+b与a-b的大小.其实,这种用“夹逼”的思想估计无理数大小的方法,其本质是利用了开平方与平方是互为逆运算的原理.请尝试解答下列问题:不用计算器解答:下列各数
7、最接近13.95的是().A.3.5B.3.6C.3.7D.3.8(上接第16页)解设Rt△ABC的三边BC,CA,AB的长分别为a,222b,c,则c=a+b.(1)S1=S2+S3.(2)S1=S2+S3.证明如下:22S2bS3aS2+S3由于三个正三角形相似,故=2,=2,所以=S1cS1cS122a+b2=1,即S1=S2+S3.c(3)当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3,证明同(2).(答案不惟一,请自己思考.)
