导数恒成立大全题集

《导数恒成立大全题集》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、20161月11日小凯子整理剖析高考数学中的恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。一、函数性质法1、二次函数：

2、2a0a0①.若二次函数fx()axbxca(0)0（或0）在R上恒成立，则有（或）；002②.若二次函数fx()axbxca(0)0（或0）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。2例1已知函数fx2mx24mx1,gxmx，若对于任一实数x，fx()与gx()y的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)1gx()0分析：fx()与gx()的函数类型，直

3、接受参数m的影响，所以首先要对参0x数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。1fx()8x1解析：当m0时，fx()8x10在(,)上恒成立，而gx()0y8图1在R上恒成立，显然不满足题意；(如图1)fx()1当m0时，gx()在R上递减且gx()mx0只在(,0)上恒成立，0x而fx()是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。gx()mx图2当m0时，gx()在R上递增且gx()mx0在(0,)上恒成立，fx

4、y而fx()是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数x，gx()1xfx与gx的值至少有一个为正数则只需fx()0在(,0]上恒成立。(如图3)o图34m04m则有2m或0解得4m8或0m4，2m4(4m)28m0综上可得0m8即m(0,8)。故选B。第1页共38页20161月11日小凯子整理392例2设函数fx()xx6xa．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2（1）对于任意实数x，fx()m恒成立，求m的最大

5、值。'2'2解析：(1)fx()3x9x6,对xR,fx()m,即3x9x(6m)0在33xR上恒成立,8112(6m)0,得m，即m的最大值为。442、其它函数：fx()0恒成立fx()0（注：若fx()的最小值不存在，则fx()0恒成立minfx()的下界大于0）；fx()0恒成立fx()0（注：若fx()的最大值不存在，则fx()0恒成立maxfx()的上界小于0）.44例3已知函数f(x)axlnxbxc(x0)在x1处取得极值

6、3c，其中a、b为常数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；2（3）若对任意x0，不等式f(x)2c恒成立，求c的取值范围。22分析：f(x)2c恒成立，即fx()2c，要解决此题关键是求fx()，x0。minmin解：（1）（2）略（3）由（2）知，f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，此极小值也是最小值.222要使f(x)2c(x0)恒成立，只需3c2c.即2cc30，33从而(2c3)(c1)0.解得c或c1.c的取

7、值范围为(,1][,).22第2页共38页20161月11日小凯子整理432例4设函数fx()xax2xbx(R)，其中ab,R．（Ⅲ）若对于任意的a22，，不等式fx()1在11，上恒成立，求b的取值范围．（节选）分析：fx()1，即fx()1，a22，，x11，，要解决此题关键是求fx()。maxmax322解：（Ⅲ）f()x4x3ax4xx(4x3ax4)由条件a22，可知229a640，从而4x3ax40

8、恒成立．当x0时，fx()0；当x0时，fx()0．因此函数fx()在11，上的最大值是f(1)与f(1)两者中的较大者．为使对任意a22，，不等式fx()1在11，上恒成立，当且仅当fx()1，maxf(1)1b2ab(2a)min即，即在a22，上恒成立．即，a22，f(1)1b2ab(2a)min所以b