第四章随机信号通过非线性系统分析

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1、4.1通信中常见的非线性系统从电子设备各组成部分的作用结果看，基本上可以把它们划分成线性系统和非线性系统两大类，非线性系统与线性系统有两个重要方面不同；1.一般来说对于线性系统的解，入们通常能够求得封闭形式的表达式，而对非线性系统來说，这一点并不是总能实现的。人们往往不得不满足于找出收敛于真实解的近似函数，或者对真实解作出估计。因此同线性系统比较起来人们一般不能确切地知道什么是非线性系统的精确解。2.分析非线性系统相对于线性系统来说一般涉及的数学在概念上更高深，在内容上则更繁杂。由于线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。本章主要

2、是研究随机信号通过非线性系统的分析。在対非线性系统的分析中，也可划分成无惰性和惰性两种情况。如果在某个瞬时t的输出随机信号，只取决于同一瞬时的输入随机信号，那么我们可以用一个函数关系把它表示为Y(t)=g[X(t)]式中g[L]代表某种非线性函数关系。这样的非线性关系，我们称之为无惰性的。凡在一个非线性系统屮，只要有贮能元件存在，它就会有惰性。但在有些情况下，可以把非线性系统中的贮能元件，归并在非线性系统的输入及输出的线性系统中。换句话说，即使我们遇到了一个非线性的有惰性的系统，往往可以作某种折合或等效归并到下一级的输入电路或前级的输出电路中去。表示非线性系统特性的g

3、(x)通常可以用实验的方法得到，如电子管、半导体器件的伏安特性曲线。为了要进行理论分析，往往是在实验的基础上，采用各种渐近方法求出g(x)。从理论上讲，比较方便的有多项式，折线和指数等渐近方法。每种方法各具有优缺点，因为所要求的渐近精确性和解析表达式的简单性往往是有矛盾的，通常在它们之间只能采用折衷的方法去处理这种矛盾。在通信当中，主要有下列儿个简单的非线性系统：通过非线性系统，我们一般化放大器和衰减器的概念。例如，一个•模拟放大器输出的电压不会高于它们的动力供给电压，这就导致了峰值剪(clipping).这种形式的非线性系统为：y(t)=Clib^(Ar(z))这里

4、3,x>&x,-6x与峰值剪相对应的一种非线性系统是中心剪(centerclipper),其式为:、」0,I兀I"其它屮心剪显然是一个非线性的，从其表达式看很难想象它的用处，其实，它在语音处理屮有很重要的应用。硬限制y(t)二sgn(x(Z))线性半波检波:⑴=”(。,若班。》0-0,若兀⑴＜0线性全波检波:y(t)=

5、xW

6、二次失真y(t)二兀(/)+£兀(/)‘其数字信号形式为：几二£+£x：平方率检波器：y(t)=bx(/)2本章主要讨论随机信号通过线性半波检波，线性全波检波和平方率检波器后输出信号的统计特性。4.2计算输出信号统

7、计特性的直接法己知非线性元件的特性y=g(Q，以及输入的统计特性，求输出的均值，相关函数可以由输入随机信号的概率密度函数求得E[Y(t)]=匸g(x)fx{xt)dx式中久(兀;f)是输入随机信号X(/)的一维概率密度。同理可推得输出端的n阶矩町严(对=匸g"⑴/；(兀；')必输出随机信号的自相关函数Ry仏』2)=L匸巩兀赵也)厶勺(西，乞；厶』2)科起式屮=X

8、⑴，兀2=兀2（『），/轩（兀1，兀2；/

9、」2）为输入随机信号的二维概率密度函数。如果输入随机信号是一个平稳的随机过程，相关函数可以写成RY（W2）=LLg（Xi）g（X2）厶吃（兀內⑺科力2（式中T=t

10、2~t^如果输入端随机信号的二维概率密度函数是已知的，就可以求输出端随机信号的相关函数和功率谱密度。在输入端概率密度为正态分布时，且非线性函数关系比较简单，积分运算又没有多大的困难吋，可以比较顺利地得到计算结果，但是，当输入端的概率分布以及非线性关系都比较复杂时，积分计算就会产生比较大的困难。下面我们将分析检波器输出端的统计特性，以说明直接法的应用。4.2.1平方律检波器1、正态噪声作用于平方律检波器如前所述，平方律检波器是指其传输特性为y=bx2式中b是常数，这种检波器的特性如图4.1所示.图4.1平方律检波特性平方律检波器输出端的n阶矩可写成E[y”（/）]=匚伽

11、2）”£（兀;r）d!r=b”E[x2”a）]相应地，平方律检波器输岀端自相关函数为Ry（/1，/2）=，E[X（/

12、）2X（J]=LL伽『伽2）工內（西,乂2；也）科曲现在假定检波器输入端作用的X（/）是一个零均值的正态噪声，根据例1.21求得正态随机变量各阶矩为1-3-5...（/2-1）＜1斤的偶数0〃为奇数E[r(r)]=E[r]=yi-3-5...(2H-l)0-；令n=l,n=2,使得到E[Y]=h(y；e[y2~=3员7：=3(E[K])2CT；=E[y2]-(E[r])2=2(£[K])2E[X1X2X3X4]=E[X1X2]E[X