线性变换和矩阵PPT

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1、7.3.1线性变换的矩阵设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一个线性变换，取定V的一个基令………………………………………7.3线性变换和矩阵设n阶矩阵A叫做线性变换σ关于基的矩阵.简称σ的矩阵.(1)上面的表达式常常写出更方便的形式:例题7.3.2坐标变换设V是数域F上一个n维向量空间,是它的一个基,ξ关于这个基的坐标是而σ(ξ)的坐标是问:和之间有什么关系?设因为σ是线性变换，所以（2）将（1）代入（2）得最后，等式表明，的坐标所组成的列是综合上面所述,我们得到坐标变换公式：定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一

2、个线性变换，而σ关于V的一个基的矩阵是如果V中向量ξ关于这个基的坐标是，而σ(ξ)的坐标是，那么例1在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令σ是将的每一向量旋转角θ的一个旋转.σ是的一个线性变换.我们有所以σ关于基的矩阵是设，它关于基的坐标是,而的坐标是.那么7.3.3矩阵唯一确定线性变换引理7.3.1设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基，那么对于V中任意n个向量，恰有V的一个线性变换σ，使得:证设是V中任意向量.我们如下地定义V到自身的一个映射σ：我们证明，σ是V的一个线性变换.设那么于是设那么这就证明了σ是V

3、的一个线性变换.线性变换σ显然满足定理所要求的条件：如果τ是V的一个线性变换，且那么对于任意从而■定理7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基，对于V的每一个线性变换σ，令σ关于基的矩阵A与它对应，这样就得到V的全体线性变换所成的集合L(V)到F上全体n阶矩阵所成的集合的一个双射，并且如果,而，则(3)(4)证设线性变换σ关于基的矩阵是A.那么是的一个映射.是F上任意一个n阶矩阵.令由引理7.3.2，存在唯一的使反过来，设显然σ关于基的矩阵就是A.这就证明了如上建立的映射是的双射.设我们有由于σ是线性变换,所以因此所以στ关

4、于基的矩阵就是AB.（4）式成立，至于（3）式成立，是显然的.□推论7.3.1设数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ关于V的一个取定的基的矩阵是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，并且关于这个基的矩阵就是.证设σ可逆.令关于所取定的基的矩阵是B.由（4），然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I.所以AB=I.同理BA=I.所以可以看出同理所以σ有逆，而□反过来，设而A可逆.由定理7.3.2，有于是我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.2的深刻意义加以说明:1.取定n维向量空间V的一个基之后,在映射:之下,(作为向量空间)研究一个抽

5、象的线性变换σ,就可以转化为研究一个具体的矩阵.也就是说,线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.2.我们知道,数域F上一个n维向量空间V同构于,V上的线性变换转化为上一个具体的变换:也就是说,线性变换都具有上述形式.7.3.4线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵定义：设A，B是数域F上两个n阶矩阵.如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式成立，那么就说B与A相似，记作：.n阶矩阵的相似关系具有下列性质：1.自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为2.对称性：如果，那么；因为由3.传递性：如果且

6、那么事实上，由得设线性变换σ关于基的矩阵是A,σ关于基的矩阵是B,由基到基的过渡矩阵T,即:定理7.3.3在上述假设下,有:即:线性变换在不同基下的矩阵是相似的.反过来,一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵.7.3线性变换和矩阵7.3.1线性变换的矩阵一、内容分布7.3.2坐标变换7.3.3矩阵唯一确定线性变换7.3.4线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵二、教学目的:1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换．2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐标．3

7、．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另一个基的矩阵。三、重点难点:线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵。