资源描述：
《第三节导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三节导数的应用教学目的：理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法掌握用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求两数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线会描绘函数的图形。教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法。教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。教学时数：8一、函数的单调性如果函数=/（%）在0,切上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿兀轴正向上升（下降）的曲线.这吋曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的），
2、即>0y=fx）0,那么函数y=fx）在［a,b］上单调增加；（2）如果在⑺上）内f（x）<0,那么函数丁=/O）在［d,b］上单调减少.证明只证⑴在［Q,勿上任取两点召，兀2（西<兀2），应用拉格朗日中值定理，得到/（%2）-/（^）=兀1）由于在上式屮吃—若〉0因此，如果在@2）内导数fX
3、x）保持正号，即f（x）>0,那么也有佗）>0,于是/（^）-/u（）=/'（§）（兀一兀）>o从而/（X,）0,所以由判定法AT知函数y=x-sinx在［0,2龙］上单调增加.例2：讨论函数y=ex-x-的单调性.解：函数y=ex-x-i的定义域为（_oo,+8）,且y'=ex-1令/=0,得兀=0,
4、因为在（-oo,0）内y'vO,所以函数y=ex-x-l在（_oo,0］上单调减少；又在（0，+oo）内y>0,所以函数y=ex-x-在口+oo）上单调增加.例3：讨论函数的单调性・解：显然函数的定义域为（-OQ,+OQ）,而函数的导数为y=^（x丰0）所以函数在兀=0处不可导.又因为xvO吋，/<0,所以函数在（-OO,0］±单调减少;因为兀>0时，/>0，所以函数在［0,+oo）上单调增加.例4：确定函数/（x）=2x3-9x2+12x-3的单调区间.解：该函数的定义域为（_oo,+oo）.而/（x
5、）=6x2-18x+12，令fx）=0,得x,=1,=2.列表X(-8,1][1,2][2,2)fXx)+—+f(x)/7函数/（X）在区间（-00』和2+-）内单调增加，在区间「1,2］上单调减少.例5：讨论函数y=/的单调性.解:函数的定义域为（_8,+oo）,函数的导数为:j=3x2,因为当xHO时，/>0,所以函数在（—,0］及［0,+oo）上都是单调增加的.从而在整个定义域（_oq,+oo）内y=疋是单调增加的.评注:一般地，如果/'（Q在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负）时
6、，那么/（兀）在该区间上仍IH是单调增加（或单调减少）的.例6：证明当兀>0时,有不等式（1+x）ln（l+x）>arctanx证明：令f（x）=（1+x）ln（l+兀）一arctanx显然/（兀）在x时连续，且/（0）=0,又/（x）=l+ln（l+x）一一,广（0）=01+十1?r因为厂（兀）二——+>0（兀>0）,故一阶导数广（兀）在兀>0时单调增加，从而1+x（1+x）有兀>0时，fx）>f（0）=0,进而知/（兀）在x>0时单调增加，所以当兀>0时，有/（x）>/（0）=0,即当兀>0时,有不
7、等式（1+X）ln（l+x）>arctanx。二、函数的极值O定义1设函数/（兀）在兀。的某一邻域U（x（））内有定义，如果对于去心邻域t/（x0）内的任一兀，有/（X）f（xQ））,则称/*（兀0）是函数f（x）的一个极大值（或极小值）.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.评注：函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果/（勺）是函数/（兀）的一个极大值，那只是就兀0附近的一个局部范围来说，/（兀。）是/（兀）的一个最大值；如果就/（兀）的整个定义
8、域来说，/（心）不一定是最大值.对于极小值情况类似.定理2（必要条件）设函数/（力在点兀0处可导，且在兀0处取得极值，那么函数在兀0处的导数为零，即门兀0）=0・定理1可叙述为：可导函数/（兀）的极值点必定是函数的驻点.但是反过来，函数fx）的驻点却不i定是极值点.考察函数/（x）=X3在兀=0处的情况.显然x=0是函数/（X）=X3的驻点，但x=0却不是函数/（X）=F的极值点.O定理3（第一充分条件）设函数fx）在点勺
