信号与系统第5章 习题答案

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1、第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnTs)n由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F()F()()sT21FnsTsn式中F()为原信号f(t)的频谱，()为单位冲激序列(t)的频谱。可知抽样后信TT号的频谱F()由F()以为周期进行周期延拓后再与1T相乘而得到，这意味着如果sss2，抽样后的信号f(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果2，即抽样smssm1间隔T，则抽样后

2、信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建s2fm1原信号。因此必须要求满足T，f(t)才能由f(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。ss2fm5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2（1）Sa(50t)（2）Sa(100t)2（3）Sa(50t)Sa(100t)（4）Sa(100t)Sa(60t)解：抽样的最大间隔T12f称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f2f称为奈奎smsm斯特速率，最低采样频率2称为奈奎斯特频率。sm25（1）Sa(50t)[u(50)u(50)]，由此知50rad/s，则f

3、，mm50501由抽样定理得：最低抽样频率f2f，奈奎斯特间隔T。smsf50s2（2）Sa(100t)(1)100200100脉宽为400，由此可得200rad/s，则f，由抽样定理得最低抽样频率mm2001f2f，奈奎斯特间隔T。smsf200s（3）Sa(50t)[u(50)u(50)]，该信号频谱的50rad/sm50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的100rad/sm10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的100rad/s,则

4、f，由抽样定理得最低mm1001抽样频率f2f，奈奎斯特间隔T。smsf100s（4）Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的100m1002Sa(60t)(1)，该信号频谱的120rad/sm60120260所以Sa(100t)Sa(60t)频谱的120rad/s,则f，由抽样定理得最mm1201低抽样频率f2f，奈奎斯特间隔T。smsf120s5.3系统如题图5.3所示，f(t)Sa(1000t)，f(t)Sa(2000t)，12p(t)(tnT

5、)，f(t)f1(t)f2(t)，fs(t)f(t)p(t)。n（1）为从f(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔T。smax（2）当TT时，画出f(t)的幅度谱F()。maxssf1(t)f(t)fs(t)时域相乘时域抽样f(t)p(t)2题图5.3解：（1）先求f(t)的频谱F(j)。1f(t)Sa(1000t)F(j)[u(1000)u(1000)]1110001f(t)Sa(2000t)F(j)[u(2000)u(2000)]2220001F(j)F(j)F(j)1

6、22111[(u(1000)u(1000))(u(2000)u(2000)]2100020001610{(3000)[u(3000)u(1000)]42000[u(1000)u(1000)](3000)[u(1000)u(3000)]}由此知F(j)的频谱宽度为6000，且3000rad/s，则f1500Hz，抽样mm11的最大允许间隔Tsmax2f3000m（2）p(t)(tnT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(

7、t)进行采样，设原输n入信号f(t)的频谱密度为F()，而单位冲激序列的频谱密度为：22p()(ns)其中sTnT则根据频域卷积定理得抽样信号f(t)的频谱为：s11Fs()[F()*p()]F(ns)2Tn2而TT，则300026000rad/s，幅度谱如下图所表示。maxsTmaxt5.4对信号f(t)eu(t)进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。解：由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：1F(j)1j其幅度频谱和相位频谱分别

8、为1F(j)21()arctan单边非因果指数函数的波形f(t)、幅度谱F(