信号与系统课后习题答案—第1章

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1、第1章习题答案1－1题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？解：①连续信号：图（a）、（c）、（d）；②离散信号：图（b）；③周期信号：图（d）；④非周期信号：图（a）、（b）、（c）；⑤有始信号：图（a）、（b）、（c）。1－2已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=

2、f(t)

3、，试判定该系统是否为线性时不变系统。解：设T为此系统的运算子，由已知条件可知：y(t)=T[f(t)]=

4、f(t)

5、，以下分别判定此系统的线性和时不变性。①线性1）可加性不失一般性，设f(t)=f

6、1(t)+f2(t)，则y1(t)=T[f1(t)]=

7、f1(t)

8、，y2(t)=T[f2(t)]=

9、f2(t)

10、，y(t)=T[f(t)]=T[f1(t)+f2(t)]=

11、f1(t)+f2(t)

12、，而

13、f1(t)

14、＋

15、f2(t)

16、≠

17、f1(t)+f2(t)

18、即在f1(t)→y1(t)、f2(t)→y2(t)前提下，不存在f1(t)＋f2(t)→y1(t)＋y2(t)，因此系统不具备可加性。由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。2）齐次性由已知条件，y(t)=T[f(t)]=

19、f(t)

20、，则T[af(t)]=

21、af(

22、t)

23、≠a

24、f(t)

25、=ay(t)（其中a为任一常数）即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。②时不变特性由已知条件y(t)=T[f(t)]=

26、f(t)

27、，则y(t-t0)=T[f(t-t0)]=

28、f(t-t0)

29、，即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t0)→y(t-t0)，因此，此系统具备时不变特性。依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。1－3判定下列方程所表示系统的性质：解：（a）①线性1）可加性由可得则即在，因此系统具备可加性。2）齐次性由即，设a为任一常

30、数，可得即，因此，此系统亦具备齐次性。由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。②时不变性具体表现为：将方程中得f(t)换成f(t-t0）、y(t)换成y(t-t0)（t0为大于0的常数），即设，则，因此也可写成，只有f(t)在t=0时接入系统，才存在，当f(t)在t≠0时接入系统，不存在，因此，此系统为一时变系统。依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。（b）①线性1）可加性在由规定的对应关系的前提下，可得即由，系统满足可加性。2）齐次性由，即，两边同时乘以常数a，有即，因此，系统具备齐次性。由1）、2）可判定此系统为一线性系统。②时不变

31、性分别将（t0为大于0的常数）代入方程左右两边，则左边＝而所以，右边＝＝左边，故系统具备时不变特性。依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。（c）①线性1）可加性在由式规定的对应关系的前提下，可得即在的前提下，有式存在，即系统满足可加性。2）齐次性由，即，两边同时乘以常数a，有，即有，因此，系统具备齐次性。依据上述1）、2），此系统为一线性系统。②时不变性分别将（t0为大于0的常数）代入方程左右两边，则因此，系统是时变的。依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。（d）①线性1）可加性在由式规定的对应关系的前提下，可得而不是：即在的前提下，

32、并不存在因此系统不满足可加性，进而系统不具备线性特性。（下面的齐次性判定过程可省略）2）齐次性由，即，两边同时乘以常数a，有，即式不成立，不存在因此，系统也不具备齐次性。单独此结论，也可判定此系统为一非线性系统。②时不变性分别将（t0为大于0的常数）代入方程左右两边，则即以式规定的关系为前提，存在因此，系统是非时变的。依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。1－4试证明方程所描述的系统为线性系统。[提示：根据线性的定义，证明满足可加性和齐次性。]证明：1）证明齐次性2）证明可加性由以上1）、2），可知系统是线性的。1－5试证明题1－4的系统满足

33、时不变性。[提示：将方程中的t换为t-t0,导出f(t-t0)与y（t-t0)对应。]证明：分别将（t0为大于0的常数）代入方程左右两边，则即以式规定的关系为前提，存在因此，系统满足时不变性。1－6试一般性的证明线性时不变系统具有微分特性。[提示：利用时不变性和微分的定义推导。]证明：设线性时不变系统的激励与响应的对应关系为，则由线性可加性可得因此所以即线性时不变系统具有微分特性。1－7若有线性时不变系统的方程为，若在非零f(t)作用下其响应，试求方程的响应。解：已知，由线性关系的齐次性特性，有又由线性系统的微分特性，有再由线性关系的可加性特性，可得