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1、第十一节数学中的简单逻辑推理问题一、“被墨水盖住”的算式如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领，不但应具有非凡的推理能力，还要懂得大量的其他知识。然而，只要你有心，也可以破译一些简单的密码。现在我们来看一个例子：据传说，英国物理学家牛顿(1642—1727)小的时候，学习成绩几乎在学校是倒数第一。后来他下决心改变这一令人沮丧的状况。有一次，他把自己的作业做得干净整齐，没有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发生了：墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。下图显示了这个令人不快的结果。Q式屮只剩下了3个数字较为
2、清晰。小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来整道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，一样一个。如果这是一种从0到9这10个数字编制的密码，你能破译出被墨水盖住的祁是哪些数字吗？由于被墨水盖住的是10个数字，所以原式应为：????••••我们可以把这个算式写成：其屮每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9中的某一个。28A+CB4GFED我们先考虑千位上的G。两个三位数相加，和是四位数，由于两个百位上的数相加，和最多向千位进1,所以，G只能是1,这时，算式就成了：28A+CB41FED再看百位上的C和F
3、。如果要保证向千位进1,C不能小于7,即C只可能是7或9中的一个。设09,那么如果十位不进位到百位，F二1；如果十位进位到百位，F二2。这都和已知的数字重复。所以CH9。所以07,F=0o即28A+7B410ED这时，B可能是3、5、6、7中的某一个。如果B二3,那么应有E二1或2,但这不可能；如果B二5,那么E二3,但6+4H9,9+4H6；如果B二6,那么E二5,这时令A二9,则有D二3。整理出来就是：A=9,B=6,C=7,D=3,E=5,F=0,G二1。于是，牛顿的算式应为：289+7641053（第2课时）■问路问题有这样一
4、个故事：在太平洋中有AB两个相邻的小岛。A岛居民都是诚实的人，B岛的居民都是骗子。当你问一个问题时，A岛的居民会告诉你正确的答案,而B岛的居民给你的答案都是错误的。一天，一个旅游者独自登上了两岛中的某个岛。他分辨不清这个岛是A岛还是B岛，只知道这个岛上的人既有本岛的居民又有另一岛的来客。他想问岛上的人“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确。旅游者动脑筋想了会一儿，终于想出一个办法，他只需要问他所遇到的任意一人一句话，就能从对方的冋答中准确无误地断定这里是哪个岛。你能猜出旅游者所问的问题吗？如果旅游者直接问“这是A岛还是
5、B岛？”那么当被问者是A岛人时，他会得到正确的回答；当被问者是B岛人时，他会得到错误的冋答。两种回答截然相反，而旅游者乂无法知道他得到的答案对不对，因此这样问话达不到问路的目的。聪明的旅游者的问话是，“你是这个岛的居民吗？”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是A岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛一定是B岛。你能说出这是为什么吗？下而我们就对上而的问题进行分析：我们知道，旅游者提出问题时并不知道提问地是何岛，也不知道被问者是何岛居民。他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。因此，所提问题的答案必须是因提问地而异，而不由被问者是A岛
6、居民或是B岛居民发生变化。根据上述特点，我们设法找到这样的问题：1•使得在A岛提问吋，被问者（不论是何岛居民）都回答同样的一种答案；2•在B岛提问时，被问者都冋答另一种答案。于是，我们就可以根据任一人的回答来判断提问地为何岛了。显然，这样的问题必须与提问地相关，并且还要与被问者有关，如果在A岛提岀这样的问题时，A岛居民应作肯定回答（B岛居民也会作肯定回答，但这种冋答与客观实际相反），那么在B岛提出同一问题时，A岛居民应作否定冋答（B岛居民也会做否定回答，但回答与实际情况相反）。“你是这个岛的居民吗？”这一问题就是一个满足以上要求的问题
7、，我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被问者对问题的和应冋答。问题：你是这个岛的居民吗？问话地被问者A岛居民B岛居民A岛回答是是B岛不是不是由上表可以一目了然地发现：在A岛提问时，冋答总为“是”；在8岛提问时，回答总为“不是”。这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”得以解决。请想一想，如果旅游者的问题为“你是和邻的另一岛上的居民吗？”，那么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗？为什么？试通过列表的方式说明理由。数学屮有个分支叫做数理逻辑，它通过数学方法来研究逻辑规律O在数理逻辑中，列表法是一种基本的研究方法，只
8、是其中表的形式与本文中的表有许多不同，使用了一些有关命题、真值的抽象符号，但其基本思想与我们用表讨论问题的思想是大体一致的，都是通过列表來分析和说明问题。数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。所谓逻辑推理，就是合乎事理的
