第二章 弹性力学基础(2)

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1、有限元分析岩土工程数值计算主讲：翁其能2009年9月地质工程专业课重庆交通大学第三章弹性力学基础（二）§3.1平面问题中一点的应力状态§3.2边界条件§3.3圣维南原理及应用§3.4虚功原理§3.5相容方程§3.6求解示例（位移、应力）§3.7常体力情况下的平面问题重庆交通大学§3.1平面问题中一点的应力状态前面我们介绍了平面问题的三类基本方程：平衡微分方程、几何方程、物理方程。下面继续从平面问题的静力学方面入手，考察一下平面问题中一点的应力状态。重庆交通大学xyOPPAB(a)(b)重庆交通大学xyOPAB(b)重庆交通大学xyOPAB(

2、b)令角，有求法向和切向应力重庆交通大学设经过P点的某一斜面上的切应力为零，则该斜面上仅有正应力，该正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向（也即主应力的方向）称为P点的一个应力主向。同时存在另外一个与此方向垂直的应力主向。重庆交通大学小结物体内的应力是与作用面有关的，前面经常提到基本位置函数，，只是表示一点的x,y坐标面上的应力分量。在校核强度条件时，还要求求出通过此点的任一斜面上的应力。斜面上的全应力p可以分解为沿坐标方向的分量（，）或沿斜面法向、切向的分量（，）。1、首先求斜截面应力分量（，）由三角形

3、微分体的平衡条件可得重庆交通大学2、分别计算（，）在斜面法向和切向的投影，求得斜面上的正应力和切应力：3、求出主应力和应力主向（Mohr圆）重庆交通大学4、进一步求出最大和最小的正应力和切应力，设，则有：重庆交通大学本节内容需重点掌握：平面问题中一点的应力状态及求解；重庆交通大学§3.2边界条件表示弹性体在边界上位移与约束、或者应力与面力间的关系式。分为：位移边界条件，应力边界条件，混合边界条件1、位移边界条件：如在弹性体部分边界上给定约束位移分量和，则对于此边界上的每一点，位移函数u和v应该满足条件此即平面问题的位移（约束）边界条件。特殊地

4、：对于完全固定约束，则重庆交通大学2、应力边界条件：如在弹性体部分边界上给定面力分量和，在边界上任一点取出一个微分体（见上节），则根据微分体平衡条件可以导出应力与面力的关系式。此时，斜面AB即相当于边界，此面上的应力分量和对应于面力分量和，而坐标面上的分别成为应力分量的边界值，有平衡条件得出平面问题的应力（面力）边界条件：其中和在边界上是坐标的已知函数，l，m是边界面外法线的方向余弦。重庆交通大学3.混合边界条件:部分位移边界条件,部分应力边界条件。重庆交通大学qyzyxlh1OO例:图示薄板悬梁,试确定边界条件重庆交通大学薄板梁内可视为平面

5、应力状态,板内各点的应力分量中由：重庆交通大学重庆交通大学重庆交通大学补充作业：图示薄板在y方向上受均布拉力作用，试证明：板中突出部分的尖端A点无应力存在。BoCAxyqq提示：不要实际求解应力分量。可分别列出AB边界和AC上应力分量及其边界条件，A点为两边交界点，须同时满足两边的条件。nn重庆交通大学重庆交通大学§3.3圣维南原理及其应用从前几节的学习可以看出，求解弹性力学问题时，应力、形变和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，实际问题中边界条件往往非常复杂，欲使边界条件完全得到满足，往往非常困难。为此，

6、必须进行一定的简化。圣维南原理重庆交通大学圣维南原理圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么面力作用点近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。圣维南原理可以大大简化局部边界上的应力边界条件，为计算带来了很大便利。重庆交通大学FFFF/2FF/2F/2F/2F/2F/2FF/AF/A应力分析重庆交通大学1、不能离开“静力等效”的条件（力等效、力矩等效）；2、不仅变换的面力必须与原面力静力等效，而且只能在局部边界上进行静力等效变换。原理中提到的“近处”

7、也是指局部边界的附近区域（根据实际经验，这个区域一般是变换面力边界的1～2倍范围内，此范围外可以认为是“远处”）。3、圣维南原理指出：在近处范围内，应力随面力的变换发生显著变化；此范围外对应力的影响很小，可略。即：在小边界上进行面力的静力等效变换，仅仅改变局部区域的应力分布，对其他大部分区域的应力没有显著影响。应用圣维南原理必须注意：重庆交通大学如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（应力主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。如：pp圣维南原理的推广（局部影响原理）：重庆交通大学yOxh/2

8、h/2llMydy重庆交通大学Oxh/2h/2llMydy重庆交通大学Oxyh/2h/2llMydy重庆交通大学虚功原理及虚功方程图示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡