高中数学竞赛专题讲座之七排列、组合、二项式定理和概率

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1、高中数学竞赛专题讲座之七排列组合二项式定理和概率一、排列组合二项式定理1．(2005年浙江)设，求的值为（）A．B．C．D．【解】令得；（1）令得；（2）令得；（3）（2）＋（3）得，故，再由（1）得。选【C】2．（2004全国）设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）A．45个B．81个C．165个D．216个解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，.（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为7，

2、由于三位数中只有2个不同数码.设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设a>b，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。故。综上，。1,3,53．（2005四川）设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为A．8　　　　B．10　　　　C．12　　　　D．14解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为时

3、，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为时，有3　个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。4．（2005四川）设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表。若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为（）A．144　　　B．192　　　　C．216　　　　D．576解：对于的一个排列，可以9个映射满足，而共有个排列，所以满足条件的数表共有张，故选C。5．(2005江西)连结正五边形的对角线交另一个正五边形，两次连结正五边形的对角线，又交出一个正五边形7（如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形的个数为（

4、）A．50B．75C．85D．100解：对于其中任一点P，以P为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]则.,由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个“顶”。据对称性可知.因此等腰三角形共有个.6．(2005全国)将关于的多项式表为关于的多项式其中则.解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取有7．如果自然数的各位数字之和等于7，那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则5200.解：∵方程的非负整数解的个数为.而使的整数解个数为.现取，可知，位“吉祥数”的个数为7∵2005是

5、形如的数中最小的一个“吉祥数”，且对于四位“吉祥数”，其个数为满足的非负整数解个数，即个.∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即从而又而∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即8．（2004四川）某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有4168个.1,3,5二、概率部分1．（2006吉林预赛）在6个产品中有4个正品，2个次品，现

6、每次取出1个作检查（检查完后不再放回），直到两个次品都找到为止，则经过4次检查恰好将2个次品全部都找到的概率是（D）A．1/15B．2/15C．1/5D．4/152．（2006年南昌市）甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比赛,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为__________.3．（2006年浙江省预赛）在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是.解：三个数成递增等差数列，设为，按题意必须满足。对于给定的d，a可以取1，2，……，2006-2d。故三数成递增等差数列的个数为三数成

7、递增等差数列的概率为.74．（2006吉林预赛）骰子是一个质量均匀的正方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点。现在桌面上有3只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作，直到桌子上没有骰子：将桌上的骰子全部掷出，然后去掉那些奇数点的骰子。求完成以上操作的次数多于三次的概率。.（169/512）5．（2004湖南）如果一元二次方程中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（）A．B．C．D．6．(2005江西)从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为，则n=_____.7．(2005江西)

8、有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人