MMC排队系统模型及其应用

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1、M/M/C排队模型及其应用摘要：将随机服务系统中M/M/C排队模型应用到理发服务行业中。通过对某理发店进行调查，以10min为一个调查单位调查顾客到达数，统计了72个调查单位的数据，又随机调查了113名顾客服务时间，得到了单位时间内到达的顾客数n和为每位顾客服务的时间t，然后利用拟合检验，得到单位时间的顾客到达舒服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，从而建立起M/M/C等待制排队模型，通过计算和分析M/M/C排队模型的主要指标，得到理发店宜招聘的最佳理发师数目。排队论主要对由于受随机因素的影响而出现排队系统进行研究，它广泛应用于通信、交通与运输、生产与服务、

2、公共服务事业以及管理运筹等一切服务系统。在具体应用方面，把排队理论直接应用到实际生活方面也有不少的文献。另外，排队论和其他学科知识结合起来也有不少应用。我们可以从现实生活中去的数据资料，基于排队系统基本知识和M/M/C排队模型基本理论和统计学有关知识，通过分析研究，得出一些结论，为实际问题的解决提供参考资料，从而拓宽了该模型的应用领域，并对其他模型的系统应用也有一定的启示作用。1M/M/C排队模型定义若顾客的到达间隔服从参数为λ的负指数分布，到达的人数服从泊松分布，每位顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布，且顾客的到达时间与服务时间独立，系统有C个服务台，

3、称这样的排队模型为M/M/C排队模型。M/M/C排队模型也可以对应分为标准的M/M/C模型、系统容量有限的M/M/C模型和顾客源有限的M/M/C模型3种。假定顾客到达服从参数为λ的泊松分布，每个顾客所需的服务时间服从参数为μ的指数分布，顾客到达后若有空闲的服务台就按到达的先后顺序接受服务，若所有的服务台均被占用时，顾客则排成一队等候。令N（t）=i表示时刻t系统中恰有i位顾客，系统的状态集合为{0,1,2,…}。可证{N（t），t>0}为生灭过程，而且有：由此可见，服务台增加了，服务效率提高了。定理1队长N（t）平稳分布。令则可求得系统的平稳分布为，当1≤n

4、＜C时，定理2系统的主要指标：服务系统中平均排队长度：顾客在系统中的平均等待时间：顾客在系统中的平均逗留时间：系统内的顾客平均人数：系统满员的概率：2M/M/C排队模型在理发服务行业中的应用在理发行业中，到理发店中去洗头、剪发、烫发、染发的人可看作是需要接受服务的顾客，理发店中的设备或理发师傅可看成服务台，顾客到达理发店是随机的，师傅为顾客服务的时间也是随机的，这就构成了排队系统。理发店要多赚钱与很多因素有关，而理发店自身的配置是否合理就是一个很重要的因素，现举例探讨如何使用排队理论知识优化理发店的服务台的配置。2.1调查收集数据某理发店拥有3名理发师傅，在

5、服务中，采用单队多服务台形式，为每位顾客服务时间是随机的，假定服务时间的分布平稳，利用排队理论知识评价和优化该理发店的配置。调查内容是单位时间内到达的顾客数n和为每位顾客服务的时间t。记录整理见表1。表1顾客到达情况的相关数据服务时间为从未顾客开始服务起到顾客付款离去时止，随机调查113名。顾客服务时间记录整理见表2。表2为顾客服务时间的相关数据2.2分布拟合检验2.2.1单位时间内到达的顾客数服从分布的拟合检验为了检验单位时间内顾客到达人数是否服从泊松分布，根据表1的数据，利用拟合检验，具体计算见表3。表3拟合检验顾客到达人数是否服从泊松分布2.2.2服务

6、时间服从分布的检验为了检验服务时间是否服从负指数分布，根据表2的数据，用拟合检验，结果见表4。表4拟合检验服务时间是否服从负指数分布2.3系统主要指标实际生活中，理发行业一般不会是独家经营，所以顾客不会在一家理发店等待很久，但随理发店来说，市容需等待的，因此由以上的检验知道，该理发店形成M/M/C等待制FCFS排队模型，应用前面定理1和定理2有λ=0.0958人/min，μ=0.0523人/min，C=3，服务强度系统空闲概率等待理发的平均顾客数店中平均逗留顾客数顾客平均等待时间/min顾客平均逗留时间/min店中满员概率顾客到达必须等待的概率3结论根据上述

7、计算结果可知，该理发店2位师傅平均忙着的概率约为61%，都闲着的概率约为14%，顾客平均等待时间约为6min，在店中平均逗留时间为25min，大约有51%的顾客到达后需要等待，说明理发店比较忙碌。随着师傅数量的增加，店中等待人数、顾客等待的时间满员和需要等到的概率明显降低。所以，要想有好的效益，理发电影多聘请师傅来降低顾客的等待时间和到达需要等到的概率，但同时，服务强度也跟着降低，师傅空闲的时间增多，如果用费用模型来优化，顾客逗留费用不好估计，因此根据愿望模型，利用系统的运行特征来确定某个参数的最优值。从上可看出，如果店中有4个服务台时，各项指标都比较理想，

8、等待1min左右，空闲概率为15%，顾客、师傅、老板