排队论及其应用

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1、排队系统的符号表述描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥各符号的意义：①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号：M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；D——表示定长输入；EK——表示K阶爱尔朗分布；G——表示一般相互独立的随机分布。②——表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。③——表示服务台(员)个数：“1”表示单个服务台，“s”(s>1)表示多个服务台。④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，则，0

2、。⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。⑥——表示服务规则，常用下列符号FCFS：表示先到先服务的排队规则；LCFS：表示后到先服务的排队规则；PR：表示优先权服务的排队规则。二、排队系统的主要数量指标描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：1．队长和排队长(队列长)队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。队长和排队长一般都是随机变量。2．等待时间和逗留时间从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。等待时间是个随机变量。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段

3、时间称为逗留时间，也是随机变量。3.忙期和闲期忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。与忙期相对的是闲期,即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。4．数量指标的常用记号(1)主要数量指标L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；Lq——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值；W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；Wq——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的

4、顾客等待时间的期望值。(2)其他常用数量指标s——系统中并联服务台的数目；λ——平均到达率；1／λ——平均到达间隔；μ——平均服务率；1/μ——平均服务时间；N――稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）；U――任一顾客在稳态系统中的逗留时间；Q――任一顾客在稳态系统中的等待时间；ρ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，—般有ρ=λ／(sμ)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ趋近于0时，表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务台有大量的空闲时间；如服务强度ρ趋近于1，那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。我们一般都

5、假定平均服务率μ大于平均到达率λ，即λ/μ<1,否则排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。李特尔公式在系统达到稳态时，假定平均到达率为常数λ，平均服务时间为常数1/μ，则有下面的李特尔公式：L=λWLq=λWqW=Wq+1/μL=Lq+λ/μ排队系统运行情况的分析排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标：①系统中顾客数(队长)的期望值L；②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq；③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；④顾客排队等待时间的期望值Wq。第三节M／M／1模型模型的条件

6、是：1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；2、排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；3、服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布。第四节     M/M/S模型l此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台，各服务台的工作相互独立，服务率相等，如果顾客到达时，S个服务台都忙着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。l整个系统的平均服务率为sμ，ρ*＝λ/sμ，（ρ*<1）为该系统的服务强度。几个连续型分布—定长l定长分布（记为D）若顾客到达间隔时间（或服务时间）为一常量a，此时称输入（服务

7、）分布为定长分布，用T表示此时间，则P(T=a)=1用分布函数表示有F(t)=P(T£t)=0tt+x

8、T>t)=P(T>x)l定理1.1负指数分布具有无记忆性.即设T是随机变量,服从负指数分布,参数为l>0,设t,x>0,则P(T>t+x

9、T>t)=P(T>x)=e-lxl定理1.2设随机变量T是非负的连续