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1、第十节因数模型及其应用［备考方向要明了］ZMUQANZHISMI掃删蒯＜8■自礙蜩刪碗考什么怎么考1•了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类空增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活小普遍使用的函数模型)的广泛应用.1•函数模型考杳的重点是函数模型的建立以及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求解最值，如2012年江苏高考T17,2010年高考T14等.2.考查题型以解答题为主.［归仙知识養合］I.几种常见的函数
2、模型函数模型函数解析式一次函数模型J（x）=ax+b（a,b为常数,gHO）二次两数模型f{x）=ar2+bx+c（afb,c为常数，gHO）指数两数模型fix）=bax+c（a1b,q为常数，a>0且aHl,bHO）对数函数模型/（x）=blog/+c（a,b,c为常数，a>0且aHl,bHO）幕函数模型J{x）=axl+b（a,b,n为常数，aHO,”H0）2•三种函数模型性质比较y=aa>i）y=log^（tz>l）y=x"（〃＞0）在(0,+8)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对
3、平稳图象的变化随兀值增大，图象与上轴接近平行随X值增大，图彖打丄轴接近平行随n值变化而不同［探究］1.玄线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢・2.你认为解答数学应川题的关键是什么？提示：解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的
4、函数、方程、不等式等数学模型・［自測牛刀小试］1.（教材习题改编）在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加.假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原來的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍.现在若养分充足，且一开始两种细菌的数最相等，要使细菌/的数最是〃的数量的两倍，需要的时间为.解析：假设一幵始两种细菌数量均为m,则依题意经过x小时后，细菌力的数量是./（X）二加・2扌,细菌B的数量是g（x）=,令m兮=2•加・4彳,解得兀=10.答案：10h2.（教材习题改编）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列
5、一组实验数据.现准备用下列四个函数屮的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是.X1.953.003.945」06」2y0.971.591.982.352.61®y=2x；@^=log2x；③夕=*（/—1）；④尹=2.61cosx.解析：通过检验可知，y=log2x较为接近・答案：②3.（教材习题改编）某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为儿存期是X,本利和（本金加利息）为y元，则本利和P随存期X变化的函数关系式是.解析：因为储蓄按复利计算，所以本利和y随存期X变化的函数关系式是+,xGN*.答案：y=a（l
6、+r）4.某种商品进价为每件100元,按进价增加25%出售,后因库存积压降价,按九折出售，每件还获利元.解析：九折出售时价格为100X（1+25%）X90%=112.5元，此时每件还获利112.5-100=12.5兀・答案：12.51.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.解析：当恰好行驶
7、8km时，需要付费1+8+2.15X5二19.75,而现在付出费用为226所以用22.6・19.75=2.85,故多行1km,实际行驶9km.答案：9畴頂ww圉題【型■探waaowB送利用函数刻画实际问题［例1］某企业牛产力，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比,其关系如图1；〃产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).(1)分别将/、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)己知该企业己筹集到18万元资金，并将全部投入力，〃两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品，可
8、获得多少利润？②问：如來你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？［自主解劄⑴设4、B两种产品分别投资x万元(兀20),所获利润分别为沧)、g(x)万元，由题意可设心)=kx,g(x)=k^x,根据图象可解得/(x)=
