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《高一全国数学联赛暑期班讲义第9讲平面几何(二)(学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、叽_去知识点拨J■■■_二希尔伯特t我们必须知道，我们必将知道.这是1930年希尔伯特（DHilbertJ862-1943.德国数学家）在科尼斯堡讲演的最后一句话，题为《认识自然和逻辑》•无论从哪个角度看，这都是伟大而有决定意义的诗句，表达了数学家探索数学的决心和信心・正如1962年库朗（R.Courant,1988〜1972,德国数学家）在纪念希尔伯特诞生100周年大会上发表的演讲〃我确信，希尔伯特那具有感染力的乐观主义，即使至吟天也在数学中保持着它的生命力•唯有希尔伯特精神，才会引导数学继往开来，不断成功此外1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》
2、的演讲.他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题•这23个问题被称为〃希尔伯特问题〃，称为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响并积极地推动作用•希尔伯特是一位正直的数学家，第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字.战争期间，他敢于公开发表文章悼念”敌人的数.学家"达布（Darboux,1842〜1917,法国数学家）.希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策■由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了,希尔
3、伯特也于1943年在孤独中逝世.然直线共点也是平面儿何屮的典型问题，也常从角、线、形、有关结论等儿个方面去考虑.1.先设其中的两条岂线交于某点，再证这个交点在笫三、第四……条直线上；1.欲证直线共点，先在/,上取一特殊点，再证其余直线都过此点;2.设法证两两相交肓线的交点重合；3.运用三角形的巧合点（三角形的五心）证直线共点；4.注意到特殊图形或多边形的中心的性质，证直线共点于图形中的特殊点;5.运用旋转、对称等变换的保结合性证明宜线共点；6.运用赛瓦定理之逆定理证直线共点；7.运用反证法等证明直线共点.【例1】CC相交于一点.设0是AABC内一点，点o关于乙4,ZB上C的内平
4、分角线的对称点分别为A,Bf,C证明：A4',BB',【例2］如图，设平面上两不相等的圆q和圆02相交于A,B两点，又设两夕卜公切线分别切圆0］于£,Q,切圆。2于鬥，Q•而分别为斥0,鬥Q的中点，分别延长交圆q于C,E,分别延长AM?,AO?交圆。2于》,F•求证：43,EF,CD三线共点•【例3】如图，已知等圆q与圆。2交于A，B,0为4B中点，过0引圆q的弦CD交圆。2于P,过0引圆。2的弦EF交圆q于Q・求证：AB,CQ,EP三线交于一点•E【例4】如图，设△4BC为锐角三角形，H为自A向边所弓
5、高的垂足，以初为直径的圆，分别交边ABfAC于M,N（且与A不同），过A作
6、直线乙垂直于MN•类似地作岀直线―与Lc.证明：厶人，厶b，厶c共点•E【例5】如图，四边形ABCD内接于圆O,对角线AC与BD相交于P,设ZABP,/XBCP,/XCDP与△£）〃的外b分别是q,。2，。3，。4•求证：OP,Op,.O2Q三直线共点•。2【例6】已知△4BC的重心为G，证明AG.BG.CG分别关于ZAZB.ZC的角平分线对称的三条直线【例7】在凸六边形ABCDEF中，对角线AD,BE,CF中的每一条都将六边形分成面积相等的两部分,求证:这三条对角线交于一点.大显身手J1.如图，圆0内切于△ABC,,G分别为3C,CA,43边上的切点.AO,BO,CO分别交
7、圆于企.B2.C2・求证:A4，,g共点・2.如图，一圆交△ABC的边BC,CA,AB分别于£与人,勾与坊,G与C?，如果由点£,冋，q分别引BC.CA.AB的垂线相交于一点，则过点A.B2,C2的垂线也相交于一点•3・已知的外心为O,"<90。，P为AOBC的夕卜接圆上且在MBC内部的任意一点，以0A为直径的圆分别与AB,AC交于点DfE,0D,0E分别与PB,PC或其延长线交于点F.G,求证A,F,G三点共线・
