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《高中数学23圆的方程232圆的一般方程课堂探究新人教B版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.3.2圆的一般方程课堂探究探究一二元二次方程表示圆的条件方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法：⑴(配方法)对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；(2)(运用圆的一般方程的判断方法求解)即通过判断D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆.【典型例题1】若关于x,y的方程x2+mxy+y2+2x-y+n=0表示的曲线是圆，贝山+n的取值范围是()(5、<51<5、■5)—OO—B.C.—+ooD.14丿<4J<4)L4)解析：因为x2+mxy+y2+2x—y+n=O表示圆,所以JO2+E2-4F=2
2、2+(-1)2-4/7>0,[m=0,解得nV?,所以m+n<—.44答案：A探究二用待定系数法求圆的方程1.用待定系数法求圆的方程的大致步骤如下：2.对圆的--般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求111常数D,E,F.【典型例题2](1)已知A(-l,l),B(6,0),C(-l,7),则ZABC的外接圆的方程是解析：设圆的方程是x'+y~+Dx+Ey+F=0,将A,B,C
3、三点的坐标代入方程，解方程组得D=—6,E=—8,F=0,从而圆的方程为x2+y2—6x—8y=0.答案：x'+y'—6x—8y=0(2)求圆心在『=—x上且过两点(2,0),(0,—4)的圆的一•般方程，并把它化成标准方程.解:探究三与圆有关的轨迹问题圆是一•个双重对称图形，L圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决，解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等.(1)直接法：根据题设，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点所满足的关系式;(2)定义法：当所列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出点的轨迹方程;(3)相关点代入法：若动点P(x,y)因为圆上的另一动
4、点Q(xi,yi)而运动，且x“y】可用x,y表示，则将Q点的坐标代入已知圆的方程，求得动点的轨迹方程.【典型例题3】已知一曲线是与两定点(0,0)和(3,0)距离之比为m(m>0)的点的轨迹,求此曲线方程，并说明是什么曲线.思路分析：设动点坐标为(x,y),将题设条件等式用方程给出，化简方程为最简形式即可・解：设所求曲线上任一点的坐标为P(x,y),由题意得’海严'即(m2—l)x2+(m2—1)y2—6m2x+9m2=0.3当m=l时，x=_,其轨迹为两点的中垂线;22,其轨迹是以叫。为圆2nr当mHl吋，方程可化为X-点评求轨迹方程与轨迹是不同的，求轨迹方程时只需耍求岀方程
5、，求轨迹时，不仅要求出轨迹方程，还要指出方程表示的图形，如果方程中含有参数要分类讨论，如有不符合条件的点要舍去.【典型例题4】已知点P在圆C：x2+y2-8x-6y+21=0上运动，求线段0P的中点M的轨迹方程.解法一：设点M(x,y),点P(xo,yo),则］2所以卜=2兀v_%Uo=2y.P亍因为点P(x。，y°)在圆C：x2+y2-8x-6y+21=0±,所以x20+y20—8xu—6y(>+21=0.所以(2x)2+(2y)2-8・(2x)—6・(2y)+21=0.即点M的轨迹方程为x2+y2—4x—3y+—=0.4解法二设点M的坐标为(x,y),连接0C,PC,取线段0
6、C的中点A,连接MA.(3、圆C的方程可化为(x-4)2+(y—3严=4,圆心C(4,3),
7、CP
8、=2,则点A的坐标为2,-l2丿如图所示，在△OCP中，M,A分别是OP,0C的中点，则
9、MA
10、=-
11、CP
12、,即
13、MA
14、=1.2又当0,C,P三点共线时，
15、MA
16、=1.所以点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆.所以点M的轨迹方程为(x-2)2+y——2=1.I2丿探究四求圆关于点(线)对称的圆1.求圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2关于点P(xo,y°)对称的圆的方程，首先要找出圆心C(a,b)关于点P(xo,y。)的对称点，得到对称圆的圆心，半径不变，即得所求圆的方程.2.求
17、圆关于直线mx+ny+p=O对称的圆的方程，只需求出圆心关于直线的对称点即可.【典型例题5】试求圆C：x2+y2-x+2y=0关于直线厶x-y+l=0对称的曲线C'的方程.思路分析：对称圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法來求.解法一：设P‘(x,y)为所求曲线G上任意一点，P'关于/的对称点为P(x°,yo),则P(x(),y(>)在圆C上.rh题意可得解得严二>7(*)[y0=x+l.因为P(x。，y(>)在圆C上，所以x'o+y/—xo+2yo=0,将(*)代入，
