高等数学向量代数与空间解析几何重点难点

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1、第九章向量代数与空间解析几何一、基本要求1.向量代数（1）了解向量的概念，了解向量间和、差的平行四边形法则。（2）了解空间直角坐标系，知道空间向量的坐标表示法。（3）了解向量的模、单位向量、平行向量及向量的方向余弦的概念，并掌握用坐标表达式进行计算的方法。（4）了解向量间的线性运算，理解向量的数量积与向量积及了解混合积的概念与性质；常握数量积与向量积的向量运算与坐标运算。（5）掌握两向量垂直、平行、共面的条件。2.空间解析儿何（1）了解曲面方程的概念，知道常用的二次曲面的图形及其方程。（2）掌握以樂标轴为旋转轴的旋转曲面的方

2、程及其求法，会求母线平行于坐标轴的柱血的方程。（3）了解空I'可曲线的参数方程和--般方程，会求空I'可曲线在坐标平面上的投影曲线方程。（4）掌握平面的点法式、一般式、截距式方程及其求法，掌握空间直线的一般式、对称式、参数式方程及其求法，会用平面与直线的相互关系解决有关问题。二、主要内容向量的模、单位向量、方向余弦，两向量的夹角等儿何量的计算向量代数向量的线性运算向量的数量积、向量积、*混合积曲面（柱面、旋转曲面、二次曲面）及其方程空间曲线（一般式、参数式）方程空间解析几何平面的（点法式、一般式、截距式）方程，平面束方程空间

3、曲线的（一般式、标准式、参数式）方程平面与平面、直线与宜线、平面与直线的位置关系向暈运算坐标运算空间两点A/】(X

4、,y,Z]),(x2,y29z2)向量a模aa=M}M2一——Oa=aa

5、a=y/a-ci=a={x2-xA,y2-yl,z2-zi}={铁，ay.az}a=a(ax,ay,az}a=J+必+a?单位向量：a°,方向余眩：COS/COS0，cos/cosa=—,COSp=CKcos/=十97

6、={cos久COS0、

7、cos/}两向量夹角（&,"）规定：03（万,4）＜”&在厶上的投影&在厶上的投影向量C以&,5为邻边的平行四边形面积Scos(^,AZ?)=ci-b丽—〃・b—c=(Prj^a)b°=——b厂S=axb=

8、引5sin(5,Ab)cos(«,AZ?)=axbx+avbv+azb2cixbx+ayby+cizbzS=cixbaxbxay以aybyc为邻边的平行六面体体积uV=[a.b.c]=axbcaxayabxbybcxcyC；空间两点间的距离公式d=M

9、Af2=J(^2—X

10、)2+()0—Vi)2+(Z2—Z[)2定比分点

11、公式Xj+Zx2))+5_Z]+&Z2•A,y,zl+Z1+21+/向量的线性运算法则：a±b={ax±bx,aY±bx.az±b2],={2。“2°尸丸冬}（&为实数）数量积、向量积、混合积定义性质运算规律坐标运算交换律分配律数乘的结合律（2为实数）数量积a•b=

12、«

13、

14、Z?

15、cos(a,A/?)a-b=(Prjd&)

16、5=(pq诽a-a—9一2=cr=aab=h-a(a+b)c=ac+bc(Aa)b=a(Ab)=A(ab)(25)(//^)=2“(云•方)cib=axbx+a、,b、・十azbz向量积cixb=引炉sin

17、（N,八5）62为垂直于所在平面且与万,5满足右手法则的单位向以为邻边的平行四边形面积S=cixb(1)tzxa=6(2)axb±aVaxbLb同时成立不满足交换律，满足：axb=-hxa(a+b)^c=••axe+bxc(Aa)xb=ax(Ab=A(axh)axbff—iJk=axayazbx叽bz混合积a,b,c]=axb-c以«J,c为邻边的平行六面体体积V=[cibic]轮换性INb.c]=[d,b,c]=[b,c,d]=[c,a,b]axayazbxgbzcxcycz向量垂直、平行、共面的条件allba,b,c共

18、面o&・b=0o[a.byc]=0叽b、bzOdxb=0ob=Xa(兄为实数)曲面的一般方程F（x,y,z）=O方程几何特性备注柱面F(x,y)=0母线〃z轴，准线为兀。汙面上的曲线F（x,刃=（）的曲面由坐标对称性可知其余柱面方程旋转曲面f(±^/x2+y2,z)=0.u小[/（32）=0卡n小「/（X,z）=（）由曲线'或曲线｛八][x=0[y=0绕Z轴旋转而成的曲面由坐标对称性可知其余旋转曲面方程旋转曲面名称曲面方程圆锥面z2=a2(x24-y2)ngx1=a2(y2+z2)或y2=a2(x2+z2)(其中G=CO

19、t0,0为半顶角)旋转抛物面2pz=x2+y2或2px=y2+z2或2py=x1+z2(0为非零实数)977JT+)厂Z?92.-4X对+z_y.=1或——z4r=la2b2旋转单叶双曲面护c2'或兀_a2'b2'=1(«>0,Z?>0,c>0)x2十声z2222=1或09=1a2b2旋转