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1、空间向量（2）长度、距离问题一、知识点1、平行六而体：平行四边形ABCD平移向量万到A'B’C'D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行AB六面体，并记作：ABCD-A®Ch•它的六个面都是平行四边形，每个而的边叫做平行六而体的棱2、向量与平而平行：_已知平面a和向量万，作OA=af如果直线CU平行于a或在a内，那么我们说向量万平行于平面a,记作：alia・通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.说明：空间任意的两向量都是共面的.3、共面向量定理：如果两个向量5不共③线，/与向量7方共面的充要条件是存在实数x,尹使/=+・推论：空I'可一点P位于平面MAB
2、内的充分必要条件是存在有序实数对x9y,使MP=xMA+yMB①或对空间任一点0,有OP=OM+xMA+yMB②^OP=xOA^yOB+zOMXx+y^z=）上面①式叫做平面MAB的向量表达式.4、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，万平行于方，记作allb.当我们说向量&、5共线（或万〃5）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量N、b（方工6）,allb存在实数2,使a=kb.5、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面
3、内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量0,5不共线，/与向量万，方共面的条件是存在实数6.、空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空I'可直角坐标系O-xyz^,对空问任一点存在唯一的有序实数组(兀,y,z),使OA=xi+yi+zk,有序实数组(x,y,z)叫作向量力在空间直角坐标系0-罚z中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用(i9j,k}表示。(3)空间向量的直角处标运算律：①
4、若Q=(°]卫2卫3)，b=(b、bjbJ，则Q+b=(Q]+勺卫2+：2卫3+伏)，a-b=(a〕-b^a2-b2.a3-b3),Xa=(AapAa2,>ia3)(AeR),—♦—♦a・b=Q0]+a2b2+a3b3,allhoa】=入by二=久优卫3=〃3(壮R),a丄方Oa、b+a2b2+a3b3=0。②若/(Xi，h，zJ,S(x2,y2,z2),则AB={x2-xx,y2-yvz2-zx)o一个向量在直角坐标系i
5、i的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。(4)模长公式：若a=(ai9a2,a3),b=(bi,b2,b3)
6、,(6)两点间的距离公式:若A(xi,y^zl),B(x2,y2.z2),则AB=y^=J(X2—Xj2+32—y)2+(z2—zj2,或dA,B=yj（x2-兀】）2+（y2一H）2+（勺一zj28、空间的距离（1）点到直线的距离：点P到直线G的距离为点P到直线d的垂线段的长，常先找或作直线Q所在平面的垂线，得垂足为A,过A作Q的垂线，垂足为B连PB,则由三垂线定理可得线段PB即为点P到直线q的距离。在直角三角形PAB中求出PB的＜即可。点到平面的距离：点P到平面Q的距离为点P到平面"的垂线段的长.常用求法①作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长；②转
7、移法，如果平面Q的斜线上两点A,B到斜足C的距离AB,AC的比为m:/?,则点A,B到平面。的距离之比也为m:n.特别地，AB=AC时，点A,B到平而Q的距离相等；③体积法（2）异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长.常有求法①先证线段AB为异面直线的公垂线段，然后求出AB的长即可.②找或作出过b且与a平行的平面，则直线Q到平面的距离就是异面直线a"间的距离.③找或作出分别过a"且与b,a分别平行的平面，则这两平面问的距离就是异面直线a"间的距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之I'可.为直线
8、上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间.为一个平而上任意一点到另一个平而的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点I'可的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。9.应用（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平而平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平而的距离问题。空间向量与体儿何空间一向量及其运算_空间向
9、暈的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算体几何_中的向量
