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《高中数学第2章点、直线、平面之间的位置关系233直线与平面垂直的性质234平》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质疱丁巧解牛知识•巧学一、直线与平而垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行.符号语言：a丄a,b丄a=>a〃b.直线与平面垂直的性质可以作为线线平行的判定定理.同时有如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上各点到平面的距离相等.二、面面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：a±P,aAP=l,acP,a丄l=>a丄B・只要有两个平而垂直，那么向交线作垂线便得线面垂直，进一步更有线与线的垂直•平面与平面垂直的判定与性质相互结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧.简言
2、之:面面垂直,则线面垂直.三、线线、线面、面面垂直关系的转化：II线线垂直壬线面垂｛1^=^面血垂1*£4性质性质
3、运用两个平面垂直的性质定理时，i般需作辅助线，基本作法是过其屮一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.平面与平面的垂直，一般将直线与直线垂直、直线与平面垂直三者结合在一起.问题・探究问题1在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的.在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？探究:根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆都和工件表而垂直.问题2应
4、用两平面垂直的性质证题时，有哪些需要注意的地方？探究:需要注意的地方有三个：（1）两个垂直的平面；（2）两垂直平面的交线；（3）在其中一个平面内作垂直于交线的直线.典题・热题例1如图2-3-12,在中，ZBAC二60°,线段AD丄平面ABC,AH丄平面DBC,II为垂足.图2-3-12求证：H不可能是ABCD的垂心.思路解析：证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法.证明：假设H是ABCD的垂心，则BH丄CD.TAH丄平面DBC,DCu平面DBC,AAH±DC.・・•AHABH=H,・・・CD丄平面ABH.又ABU平面ABH,・・・AB丄CD.TAD丄平面ABC,
5、ABu平面ABC,AADIAB.rtl于ADACD=D,・・・AB丄平面ACD.・・・ACu平面ACD,・・・AB丄AC.这与己知中ZBAC=60°相矛盾.•:假设不成立.故H不可能是ABCD的垂心.误区警示证明“不可能”“至多”“至少”“没有”“不等”等类型的问题，直接证明不好入手，通常采用反证法.要掌握反证法证题的基本步骤.例2如图2-3-13,在四面体ABCD中，若AB丄CD,AD丄BC,求证:AC丄BD.C图2-3-13思路解析：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义（或性质）得出线线垂直.证明：过A作A0丄平面BCD,垂足为0,则A0丄CD.TAB丄CD
6、,A0AAB=A,二CD丄平面八BO.TBOu平面ABO,・・・CD丄BO.同理，BC丄DO.则0为ZXBCD的垂心，・・・co丄BD・TAO丄BD,COCAO二0,・・・BD丄平面ACO.又TACu平面ACO,・・・AC丄BD.深化升华从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解（证）题中的作用.例3如图2-3-14,空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直,ZPBA二45°,ZPBC=60°,M为AB的中点•⑴求BC与平面PAB所成的角;（2）求证：AB丄平面PMC.B图2-3-14思路解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及汁算、发现解题思路.证明：TPA丄PB
7、,.-.ZAPB=90°.在RtAAPB中,VZABP=45°,设PA=a,则PB二a,AB二伍・TPB丄PC,在RtAPBC中,TZPBC二60°,PB=a,ABC=2a,PC二辰.TAP丄PC,・•・在RtAAPC中，AoJPA?+PC?二J/+(V3tz)2二2a.(1)VPC1PA,PC丄PB,・・・PC丄平面PAB.ABC在平面PAB上的射影是BP,ZCBP是CB与平面PAB所成的角.VZPBC=60°,・・・BC与平面PBA所成的角为60°.(2)由上知，PA二PBp,AC=BC=2a,・・・M为AB的中点,则AB丄PM,AB丄CM.・・・AB丄平面PCM.深化升
8、华本题关键要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例4如图2-3-15,已知平面PAB丄平面ABC,平面PAC丄平面ABC,AE丄平面PBC,E为垂足.(1)求证：PA丄平面ABC；(2)当E为APBC的垂心吋，求证：AABC是直角三角形.图2-3-15思路解析：己知条件“平面PAB丄平面ABC,…”，使我们想到面面垂直的性质定理，便有如下解法.证明：(1)在平面ABC内取一点D,作DF丄AC于F.平面PAC丄平面ABC,且交线为AC,・・・DF丄平面PAC.•・・PAu平面PA
