点、直线、平面之间的位置关系-2.3.1直线与平面垂直的判定

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1、2.3.1直线与平面垂直的判定2010～2011学年度高一数学·必修1（人教A版）济宁育才中学高一数学组　朱继哲生活中有很多直线与平面垂直的实例生活中有很多直线与平面垂直的实例生活中有很多直线与平面垂直的实例大桥的桥柱与水面垂直生活中有很多直线与平面垂直的实例一条直线与一个平面垂直的意义是什么？问题AαBB1C1CB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．直线垂直于平面内的任意一条直线．生活中有很多直线与平面垂直的实例如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．平面的垂线直线l的垂面

2、垂足定义直线与平面的一条边垂直直线与平面垂直1.如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线l和平面α互相垂直（）思考：BCl线线垂直　　　　线面垂直性质定理直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α中的任意一条直线除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？探究如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．直线与平面垂直一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．判定定理线线垂直　　　线面垂直直

3、线与平面垂直判定定理①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是,直线与平面的位置关系如何？）②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.③ a⊥α等价于对任意的直线mÌα，都有a⊥m.利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.直线与平面垂直判定定理例1、有一根旗杆PO高8m，它的顶端P挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)A、B,如果这两点都和旗杆脚O的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？PO

4、ABPOAB分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。ab例2.如图，已知　，求证例2如图，已知，求证根据直线与平面垂直的定义知又因为所以又是两条相交直线，所以证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，1、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交练习题2、在空间，下列命题（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）平行于同一平面的两条直线

5、互相平行；（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.四个命题都正确。CB3.平行四边形ABCD所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.CABDOP练习题VABC练习题EABCD练习题直线与平面所成的角过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影.αPAB定义：我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90°；当一

6、条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0°.直线与平面所成的角θ的取值范围：思考：在实际应用或解题中，怎样去求斜线与平面所成的角？αPAB二证一作例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求证：BC1⊥平面A1B1CD.（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO二证一作练习：求直线A1B与平面ABCD所成的角.P67练习：3.练习解解：连结BC1交B1C于点O,连结A1O,由（1）知BC1⊥平面A1B1CD，垂足为O，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,∠BA1O为直线A1B和平面A1B1CD所成的角。设正方

7、体棱长为a，在Rt△A1BO中,例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求证：BC1⊥平面A1B1CD.（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO所以因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为300。(2)三求二证一作练习，(2)1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定小结线线垂直线面垂直3、直线与平面所成的角思考：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1，说明你的理由.AA1BCDB1C1D1底面四边形ABCD对