正文描述:《2010年全国高中数学联赛试题及详细解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2010年全国高中数学联赛一、填空题(每小题8分,共64分,)1.函数的值域是.2.已知函数的最小值为,则实数的取值范围是.4.函数在区间上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是.3.两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.4.正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则.5.方程满足的正整数解(x,y,z)的个数是.[来源:Z+xx+k.Com]二、解答题(本题满分56分)9.(16分)已知函数,当时,,试求的最大值.10.(20分)已知抛物线上的两个动
2、点,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.11.(20分)证明:方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得.加试2.(40分)设k是给定的正整数,.记,.证明:存在正整数m,使得为一个整数.这里,表示不小于实数x的最小整数,例如:,.3.(50分)给定整数,设正实数满足,记.求证:.[来源:学§科§网]4.(50分)一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的
3、密码设置?一试解答1.【答案】【解析】易知的定义域是,且在上是增函数,从而可知的值域为.3.【答案】9800【解析】提示:由对称性知,只要先考虑轴上方的情况,设与双曲线右半支于,交直线于,则线段内部的整点的个数为,从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点,所以所求整点的个数为.4.【答案】【解析】提示:设的公差为的公比为,则(1),(2)(1)代入(2)得,求得.从而有对一切正整数都成立,即对一切正整数都成立.从而,求得,.6.【答案】【解析】提示:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为,从而先投掷人的获胜概率为.7.【答
4、案】【解析】提示:解法一:如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,.设分别与平面、平面垂直的向量是、,则在直角中,,即.又..7.【答案】336675【解析】提示:首先易知的正整数解的个数为.[来源:学科网ZXXK]9.【解析】解法一:由得.设,则..容易知道当时,.从而当时,,即,从而,,由知.又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.由(1)知直线的方程为,即.(2)(2)代入得,即.(3)依题意,是方程(3)的两个实根,且,所以,..定点到线段的距离..解法二
5、:同解法一,线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.[来源:Zxxk.Com]设,则的绝对值,,所以,当且仅当且,即,或时等号成立.所以,面积的最大值是.二试解答1.【解析】用反证法.若A,B,D,C不四点共圆,设三角形ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交直线AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.因为P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O),同理,所以,故⊥.由题设,OK⊥MN,所以PQ∥MN,于是.①⑤-④,得P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O).注2:若点E在线段AD的延长线上,完全类似.3.【解析】
6、由知,对,有.注意到当时,有,于是对,有,故.当n为奇数时,,此时.②代入①式中,得[来源:Zxxk.Com].
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