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《中考数学复习指导：与分式方程的增根有关的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、与分式方程的增根有关的问题在初中数学教材中先后出现了可化为一元一次方程的分式方程和可化为一元二次方程的分式方程的相关问题，其中，让学生一直感到困惑的是与增根有关的问题，下面就常见的儿种情况加以分析.题型一、解分式方程2r例1解方程：———=0・兀+1x2-l错解方程两边同乘Cx~1）（x+l）,得2（兀一1）—兀=0.解这个方程，得x=2.所以，x=2是原方程的解.误区此题错在没有检验，必须检验的原因是去分母时方程两边同乘的整式（最简公分母）的值可能为零.这样，原分式方程中的分式就失去了意义，也就是说变形后的整式的根不适合原方程，解分式方程吋可能产生增
2、根，所以，解分式方程吋必须检验.正解方程两边同乘（X—1）（x+1）,得2（兀一1）—兀=0.解这个方程，得x=2.检验：当x=2时，（x—1）（x+l）H0,所以x=2是原方程的解.评注这题类型直观、简捷，主要考察学生对“类比转化”的思想方法和对方程的根的意义的掌握情况，是学生比较容易得分的一类题.上述题目只要严格按照“化分式方程为整式方程一一解整式方程一一检验”的步骤去做，一般不会有差错.题型二、含参数的分式方程有增根，求这个参数的值分式方程有增根就是分式方程去分母后得到的整式方程有根，而这个根使原分式方程的分母为零，使分式方程中的分式失去了意义的
3、根.所以，解这一类题只要先化分式方程为整式方程，然后，把使原分式方程中的分式无意义的未知数的值代入，即可求得参数值.例2若关于兀方程一-2=-^-有增根，试求k的值，x—3x—3解方程两边同乘以兀一3,得x—2（X—3）=k,化简得x=6—k,由最简公分母兀一3=0,得x=3.把兀=3代入x=6—k,得k=3.变式若关于兀方程丄+丄=亠有增根，求Q.—XX+1X—1分析本题与例题最大的区别是，使最简公分母『一1为零的未知数的取值有两个,即1和一1,这吋我们千万不能漏解.答案：d=—6,或一4.题型三、含参数的分式方程有增根，求增根例3若方程(卄罷-旷
4、二孑有增根'求这个方程的增根•分析原分式方程化为整式方程：r+mv+m—7=0.由最简公分母%2—1=0得兀=±1・把兀=1代入整式方程得m=3；把尸■1代入得一6=0,无解.也就是说，不存在m的一个取值使化简后的整式方程有x=~这个根.所以，该分式方程只有一个增根x=l.评注很多学生认为使分母为零的未知数的取值就是方程的增根，其实不然.这要看变形后的整式方程是否有这些根.解这一类题目的一般步骤是：先化分式方程为整式方程,再把使最简公分母为零的未知数的值分别代入整式方程，得到关于参量的一个方程.若关于参量的方程有解，则该未知数可以是增根，否则不是.题
5、型四、含参数的分式方程有解，求参数的范围6yE3例4若分式方程旦=尹二_三有解，求k的取值范围.x-1x[x-l)X分析先化分式方程为整式方程得：k亠28x=k+3,解得x=•8这只是整式方程的解，要使分式方程有解，则这个解不能使最简公分母为零.I，2+3一口£+3亠故兀=H0,且x=88解得kH—3，J=LkH5・例5(15届江苏省初屮数学竞赛题)关于兀的方程竺-飞「=旦只有一解(相x-X-xX等的解算一个)，求k的值及方程的解.分析先化分式方程为整式方程得：k.r+(2-3k)兀一1=0.本题与例题1不同Z处在于，化简后的整式方程具有一元二次方程
6、的形式，所以，要讨论二次项的系数是否为零两种情况.①若k=0,则1=0,解得兀=丄；2②若kHO,则厶=131?—121<+4=51?+4(1<—1)2>0.方程总有两个不相等的实数根，按题设原方程只有一个解，因此，必有一根是原方程的增根.从原方程知道增根只能是0或1,显然0不是方程k?+(2-3k)x~=0的根.故兀=1是方程k?+(2-3k)x-l=0的根,代入得k=-.2而方程k/+(2-3k)x-1=0的另一个根必是原方程的根，由韦达定理得方程的另一根为x=~2.综上，当k=0时，方程的解为x=~；2当1<=丄时，方程的解为2.2评注分式方程
7、有解，首先要满足它对应的整式方程有解，然后，若整式方程的解只有一个，那么它不能使原方程中的分式的分母为零；若整式方程的解有两个，那么至少有一个不能使原方程中的分式的分母为零.题型五、含参数的分式方程无解，求参数的值例6关于x的方程土巴=-1=一1无解，求m的值.x-3分析方程两边同乘x-3,得2x+m=3—兀，整理得3x=3~m.注意到兀的系数是3,该整式方程有解是x=^~.而分式方程无解，所以x二上巴是分式方程的增根.所以，-~=3,解得m=—6.3例7关于兀的方程口-3"无解，求q的值.x-X分析化分式方程为整式方程得：(a+2)x=3.考虑到兀
8、的系数含参量，故要分两种情况讨论：①当。+2=0,即2时，方程无解，故原分式方程无解；33②当
