分式方程的无解与增根

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1、分式方程的增根与无解南门学校欧成敏一化二解三检验分式方程整式方程a是分式方程的解X=aa不是分式方程的解去分母解整式方程检验目标最简公分母不为０最简公分母为０a就是分式方程的增根解分式方程的一般步骤知识回顾:例1解方程：解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得2(x+2)-4x=3(x-2)．解这个方程，得x=2．检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，所以x=２不是原分式方程的解．所以原分式方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x

2、的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．解：方程两边都乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2)因为此方程无解，所以原分式方程无解．整理得0x＝8．例2解方程：【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．判断：1、有增根的分式方程就一定无解。2、无解的分式方程就一定有增根。××X=-30X=23、分式方程若有增

3、根，增根代入最简公分母中，其值一定为0。√4、使分式方程的分母等0的未知数的值一定是分式方程的增根。×（）（）（）（）深入探究分式方程的增根与无解分式方程的增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。（2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．（1）原方程去分母后的整式方程出现0x=b（b≠0），此时整式方程无解；分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值等．它包含两种情形：应

4、用升华2.关于x的方程有增根,那么增根可能是___________________．则k的值可能为______________X=2X=2或x=-2K=-8或k=-121.如果有增根,那么增根是__________.方法总结：1、化为整式方程。2、确定增根。3、把增根代入整式方程求出字母的值。1、化为整式方程。2、把增根代入整式方程求出字母的值。求m的值。有增根，∵原方程有增根无解，∵原方程无解解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)整理得（a－1）x＝－10②【说明】

5、做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．①有增根；②无解。解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。（2）当x＝2或－2时，原方程无解，把x＝2或－2代入方程②中，得a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．

6、若原分式方程有增根，则增根为x=2或x=-2把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．（1）当a-1=0即a=1时(a-1)x=-10无解，原方程无解。（2）当a-1≠0时，x＝2或－2时，原方程无解，把x＝2或－2代入方程②中，得a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．课堂练习：1.当m为何值时,方程有增根.课堂小结：1、分式方程的增根是在分式方程化为整式方程的过程中，整式方程的解使最简公分母为0的未知数的值。2、分式方程无解则包含两种情形：1）原方程去分母后的整式方

7、程无解，2）原方程去分母后的整式方程有解，但解是增根。关于分式方程的增根与无解问题的一般步骤：1、去分母，化分式方程为整式方程。2、解这个整式方程。3、根据题意讨论这个解可能出现的情况，得出有关字母系数的取值。课后作业：2.当m为何值时,解方程有增根.基础题：选做题：若方程的解是正数，求a的取值范围.1、使分式方程产生增根的m的值为_____。若方程的解是正数，求a的取值范围.想一想若方程的解是正数，求a的取值范围.展示交流☞关于这道题，有位同学作出如下解答：解：去分母得，2x+a=-x+2.化简，得3

8、x=2-a.故x=因为方程的解为正数，所以，得a<2.所以，当a<2时，方程的解是正数.，得a<2.且a≠-4所以，当a<2且a≠-4时，方程的解是正数.