浅谈分式方程的增根与无解

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1、浅谈分式方程的增根与无解•中学数学论文浅谈分式方程的增根与无解由科军(西安交通大学附属中学分校，陕西西安710048)摘要:本文剖析了分式方程中的增根与无解两个较难掌握的概念，由此总结岀两者的区别和联系，举例介绍了他们在解题中的应用。关键词:分式方程；增根；无解中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-12-0027-01增根与无解是分式方程中的两个重要概念。两者既有区别,又有密切的联系。解分式方程首先要化分式方程为整式方程，需要用分式方程中各分式的最简公分母去乘方程的两边。如果所得整式

2、方程的解恰好使最简公分母为零，则这个解就是增根；如果使最简公分母不等零，则所得整式方程与原分式方程同解，则整式方程的解就是原分式方程的解。而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。它通常包含两种情形:一是原分式方程化去分母后的整式方程无解贝9原分式方程也无解;二是原分式方程化去分母后的整式方程有解,但这个解是原分式方程的增根，从而原分式方程无解。下面通过具体的实例加以分析。分式方程的验根x-2解:去分母傅X1-4=0解僧*=2或"・2经检捡x=2是増根，分式方樫的解为x=・2。小结:此題丐蔡了侨分式

3、方程，解分式方程的基事思僅星转化思想』卩把分式力程转化为整式力程或解，但解分式力悍一定要注意验根。例2渚关于工的分式厶誓沖-丨的解为正数，那么字母eX—1的取值范围星.解：分式力段去分母得b・0且«-l-1#0解得且。亚2。注意:此題4察了分式方曾的解•弄清腿倉定解広題的关进，注倉分式方程的◎仟苕分母不等十籌。例3：若44二於位等于培•求■的伯x-2x-3解：由上二7斫丨*卜3=0x-2x-3解得x=±3检验:当x=3时，分母等于零，故其为增根舍去，所以x二"。二、使分母为零的x

4、的取值是否就是增根呢？首先”增根会使某个分式的分母为零”但能使某个分母为零的x的取值未必是分式方程的增根。其次,要知道增根存在的条件：(1)必须是去分母后的整式方程的根；(2)此根会使原分式方程的某个分母为零。解：去分母得1-x+2x-4=-3解得x二0检验：当x二0时,则x・2=0-2/0所以x二0是原方程的根”而不是增根。三、若分式方程一走有增根”则某个分母为零的取值，将有成为增根的可能。砒:关于’叱★右庙有堆根■求皿的值解：去分母得：X二m(x+l)分类讨论：(1)若分母x+1二0,则x=・1,将其代入x・l=m(

5、x+l)中，得・2=0,显然不成立，所以x二-1不可能成为增根。(2)若分母)<・1二0,则x二1,将其代入x-l=m(x+l冲，得0二2m,所以m=0综上m=0四、增根不同于无解分式方程无解有两种情况:(1)方程去分母后,如果出现0x=b(b/0的常数)，则整式方程就无解;(2)增根导致无解。色6：关十工的分式方秤斗-丄"工懈，求。的(ftX-1X解：去分母得：x(x・a)-3(x・l)=x(x・1)化简(a+2)x=3(1)若a+2二0,即a二・2,则方程0x=3无解。(2)若增根引起分母x-l=0zx=l代A(a+

6、2)x=3中,a=l所以当a=l时产生增根x=l以致分式方程无解。(3)若增根引起分母x二0,代入(a+2)x二3中，0二3,显然不成立,所以x二0不可能成为增根。因而a二・2或a二均会使原方程无解。例7：若关于的力理吉二占“无瞅帕的值呈2.解：x・2=0得x=2方程去分母得ax二4+x-2把x=2代入方程得2a=4+2・2,得a二2综上所述，运用转化思想将分式方程转变成整式方程，在简化了解题过程的同时，也带来了增根的危险，检验就成了最后一道〃防火墙〃，不容忽视。我们可从分母为0中估测可能出现的增根，但是否存在，要看是否

7、为去分母之后的整式方程的根方能确走。增根还会导致分式方程无解，但无解又未必全是由于增根引起,增根与无解既有联系又有区别,考虑问题须全面缜密。