浅谈分式方程增根与无解

《浅谈分式方程增根与无解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、浅谈分式方程的增根与无解-中学数学论文浅谈分式方程的增根与无解由科军（西安交通大学附属中学分校，陕西西安710048）摘要：本文剖析了分式方程中的增根与无解两个较难掌握的概念，由此总结出两者的区别和联系，举例介绍了他们在解题中的应用。关键词：分式方程；增根；无解中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0027-01增根与无解是分式方程中的两个重要概念。两者既有区别，又有密切的联系。解分式方程首先要化分式方程为整式方程，需要用分式方程中各分式的最简公分母去乘方程的两边。如果所得整式方程的解恰好使最简公分母为零，则这

2、个解就是增根；如果使最简公分母不等零，则所得整式方程与原分式方程同解，则整式方程的解就是原分式方程的解。而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。它通常包含两种情形:一是原分式方程化去分母后的整式方程无解，则原分式方程也无解；二是原分式方程化去分母后的整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根，从而原分式方程无解。5/5下面通过具体的实例加以分析。一、分式方程的验根解得x=±3检验：当x=3时，分母等于零，故其为增根舍去，所以x=-3。二、使分母为零的x的取值是否就是增根呢？首先，增根会使某个分式的分母为零，但能使某个分母为零的x的取

3、值未必是分式方程的增根。其次，要知道增根存在的条件：（1）必须是去分母后的整式方程的根；（2）此根会使原分式方程的某个分母为零。解：去分母得1－x+2x－4=－3解得x=0检验：当x=0时，则x－2=0－2≠0所以x=0是原方程的根，而不是增根。三、若分式方程一定有增根，则某个分母为零的取值5/5，将有成为增根的可能。解：去分母得：x－1=m(x+1)分类讨论：（1）若分母x+1=0，则x=－1，将其代入x－1=m(x+1)中，得－2=0，显然不成立，所以x=－1不可能成为增根。（2）若分母x－1=0，则x=1，将其代入x－1=m(x+1)中，得0=2m

4、，所以m=0综上m=0四、增根不同于无解分式方程无解有两种情况：（1）方程去分母后，如果出现0x=b（b≠0的常数），则整式方程就无解；（2）增根导致无解。解：去分母得：x(x－a)－3(x－1)=x(x－1)化简(a+2)x=3（1）若a+2=0，即a=－2，则方程0x=3无解。（2）若增根引起分母x－1=0，x=1代入(a+2)x=3中，a=1所以当a=1时产生增根x=1以致分式方程无解。（3）若增根引起分母x=0，代入(a+2)x=3中，0=3，显然不成立，所以x=0不可能成为增根。因而a=-2或a=-1均会使原方程无解。5/5解：x－2=0得x=

5、2方程去分母得ax=4+x－2把x=2代入方程得2a=4+2－2，得a=2综上所述，运用转化思想将分式方程转变成整式方程，在简化了解题过程的同时，也带来了增根的危险，检验就成了最后一道“防火墙”，不容忽视。我们可从分母为0中估测可能出现的增根，但是否存在，要看是否为去分母之后的整式方程的根方能确定。增根还会导致分式方程无解，但无解又未必全是由于增根引起，增根与无解既有联系又有区别，考虑问题须全面缜密。5/55/5