高中数学导数及其应用温习题[1]

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1、第四讲导数及其应用(2)★★★高考在考什么【考题回放】1.已知对任意实数X,有(一x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，广(兀)〉0,g'(x)〉O,则兀<0时・(B)A.广⑴〉0,g'(x)〉OB-广⑴〉0,g'(x)vOC.广(x)vO,g'⑴〉0D.广(x)vO,g'⑴<02.曲线y=F在点(4M)处的切线与坐标轴所围三角形的而积为(D)A.-e2B.4e2C.2e2D.e223.设p:f(x)=eA+Inx+2x2+mx+1在(0,+oo)内单调递增,q:m2-5,则”是g的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条

2、件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设广(兀)是函数f(兀)的导函数,将y=f(x)^y=fx)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(D)6.若直线y二x是曲线y=x-3x2+ax的切线，则a=★★★高考要考什么1.导数的定义：/V0）=limAytO于(观+心)一于(兀0)=血/（对-/（兀0）=Hm/（兀0+2心）一/（兀0）XTXoX-XQ山T°2Av2•导数的儿何意义：<1)函数y=/(兀)在点X。处的导数广(兀。)，就是曲线丿=/⑴在点P(x0,y0)处的切线的斜率;(2)两数5=5(/)在点心处的导数S'

3、(/()),就是物体的运动方程5=5(/)在时刻心时的瞬时速度；3.要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意:(iog(;y=-iog：和Xf(/)=ax-ao4.求函数单调区间的步骤：1)、确定f(x)的定义域，2)、求导数『,3)、令y‘〉O(y‘〈0),解出相应的x的范围。当y‘〉0时，f(x)在相应区间上是增函数；当『〈0时，f(x)在相应区间上是减函数5.求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程『二0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法，检查在可能极值点的左右两

4、侧的符号，确定极值点。6.设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导,求f(x)在［a,b］上的最大(小)值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值,(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最人值，最小的一个是最小值。7.最值(或极值)点必在下列各种点Z中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。★★★突破重难点【范例1］已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x二±1处収得极值.(1)讨论/⑴和/(-I)是函数fd)的极人值还是极小值；(2)过点4(0,16)作曲线尸的切线，求此切线方程.(1

5、)解:ff(x)=3ax2+2bx-3f依题意，/1)=/-1)=0,即J3d+2b-3=0,⑶-2b-3=().解得a=l,h=0.f(x)=x3-3x,ff(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l).令广(x)=0,得兀=一1,x=.若XG(-00,-1)U(1,+8),则广(兀)>0,故fd)在(一00,-1)±是增函数，/U)在(1,+00)上是增函数.若兀€(-1,1)，则广⑴vO,故/U)在(一1,1)上是减函数.所以，/(-1)=2是极人值；/(1)=-2是极小值.(1)解：ill］线方程为y=x3-3x，点A(0,

6、16)不在

7、11

8、线上.设切点为M(心，y0),则点M的坐标满足yQ=总一3x0.因广(兀°)=3(球—1),故切线的方程为y—儿=3(对—l)(x-兀°)注意到点A(0,16)在切线上，有16—(%Q—3%0)—3(Xq—1)(0—x0)化简得Xq=-8,解得x0=—2.所以，切点为M(—2,-2),切线方程为9x-y+16=0.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【范例2](安徽理)设日NO,f(x)=/—1—lr?x+2aInx(%>0).(I)令F3=xfS,讨论尸(Q在(0.+<-)内的单调性

9、并求极值;(II)求证：当x>时，恒有x>x—2aInx+1.M：(I)根据求导法则有八兀)=1_空兰+丝，兀>0,XXF(x)=xff(x)=x-2Inx+2«,x>0,2x-2于是FV)=l--=^,x>0,列表如下：(0,2)2(2,+呵—0+F(x)极小值F(2)故知F(Q在(0,2)内是减函数，在(2,4-00)内是增函数，所以，在x=2处取得极小值F(2)=2—21n2+2a.(II)证明：由a^O知，F(jc)的极小值F(2)=2-21n2+2a>0.于是由上表知，对一切xw(O,+°°),恒有F(x)=xff(x)

10、>0.从而当兀>0时,恒有/V)>0,故/(兀)在(0,+8)内单调增加.所以当兀〉1时，f(x)>/(1)=0,即x-l-ln2x+2alnx>0.故当兀〉1吋，恒有x>2x-2ax+.【点晴】