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1、十月大题集锦设朋件函数俭）=加";⑴若a=3，求曲线ym在皿一3）处的切线方程;⑵若人可有零点，求实数a的取值范围；⑶若加0有两个相异零点X1,帀，求证：巾•題＞上答案11-ax解:在区间（°g）上弘r卄丁_f(x)=1-3⑴当°~-时，丿1111线"=他在弘一引处的切线斜率为1一3=-2,?/—(—3)=—2(x—1)2t+?/+1=0则切线方程为丿--'丿，即；(2)⑴若n=°,/G，，)=有唯零点r=1.(2)若°<°，则他)>°,沧)是区间©+°°)上的增函数,*//(!)=_(1>0/(e°)=a^ae°=a(
2、l—e°)<0力⑴•能）＜°，函数沧）在区间（°g有唯-零点._1（3）若令畑=°得「蔦.在区间°讣上他）＞°，函数他是增函数;在区间（丁3上，畑＜°,函数沧）是减函数;故在区间0+°°）上，沧）/(—)=In1=—Ina7的极人值为•""由咕°即-加-囚，计算得岀严2(Y：Il故所求实数a的取值范围是£(3)证明:设=/(X2)==0/Jnxi+lnx2=o[x+x2)IrLri—lnx>=o(xi—原不等式・g>疋lnxi+lnx2>2a(x+d)>2<=>工i，则t>1,于是Xi2(X1一t2)In—>X2X
3、+X2Int><=>2(11)t+1g(t)=Int-设函数2(1)i+1(±>1)求导得：「丿血+1)2>uInt>，即不等式2—1)(/>1)成立,故函数"⑴是⑴+°°)上的增函数,故所证不等式•门•也>“成立・；解析(1)求出当"=3时的导数，再求切线的斜率，山点斜式方程,即可得到切线方程;(2)对a讨论，分"=°°°，对通过解方程和零点存在定理以及应用导数求极值,令极大值不小于0,即可得到；X1—X2X+X2(3)原不等式xxy>LInxi^rlnx^>2a(x+x>)>2o<=>0In巴>2©一帀)X2X
4、+X2Xi2(巾一忑2)…2(t—1)In—>LInt>———hlll/>1工曰陀m+吧t+1沪.p舲，则，于是o•设函数g{t)=Int—2(—1)t+1(<>1)•求出导数，判断单调性，由单调性即可得证.设函数俭g（工）=血;一2（i⑴对于任意a曰-2,2］都有血）＞"（工）成立，求x的取值范围;（2）当"＞°时对任意旳,咚［-3,-1］恒有伽）＞“心），求实数玄的取值范围;（3）若存在X（］eR，使得皿）＜°与W＜°同时成立，求实数a的取值范围.答案解:⑴因为对于任意a€［'2?2］都有沧）＞张）成立，都有宀皿+
5、+3＞心一2。即(.2霊+3旭+/+3>0对于任意"曰一°2］恒成立.h(a)=(—2j:+3)«+x2+3，则有因为/(rr)=；/—(1北+口+3的图彖的对称轴，所以/(x)=:r2—n；r+a+3在ZT上单调递减，可得沧皿=心1）=加+4.因为—ag(e)=—arx+2crZT上单调递减，可得It加皿=加，所以00/i(2)=x~+4x—3>0，解不等式组可得”〉-2+77，或*-7（2）根据题意可以知道在区间ZT上，如站＞［"）咯（3）若a=°，则"川二"，不
6、合题意，舍去.若aV0，由9（巧＜0可得鼻＞2.原题可转化为在区间⑵+*）上存在助，使得f(^o)<0因为f(=)=矿-az+a+3在]，+°°)上单调递增，所以•广⑵<0，可得a>7，乂因为°<°，不合题意.若a>0，由g(=)<0可得工<2，原题可转化为在区间(-°°，2)上若存在甌，使得f(^o)<0■aa当厂时，即时J⑵"TV。,可得。>7；当厂’时，即时時可得小aV—2综上可以知道"解析⑴根据题意可得，一加+3归+*+3>0对于任意*[-2.2]恒成立.设力(—2)=忑2—4工+9>0仕@)=(_2+)心+3,
7、则冇/r(2)=x~+4x—3>0，解不等式组可得x的范围.(2)根据题意可以知道在区间m上，L2)]”血>日"(町”心.利用二次函数的单调性求得血曲和卜讽咖心的值,解不等式求得a的范围.⑶分"'=°、"VU、">°三种悄况，分别由条件求得a的范围，再取并集，即得所求.已知函数f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中e为口然对数的底，则满足f(ex)<0的x的取值范围为•答案(0,1)因为由5"1~"得：…」，X0.1<<-!<>,所以由心)<0得.1<考点：利用导数解不等式设函数•的在R上存在导数％)，对任意的心有•八
8、')'伽)"，且在(0・+oo),ff(x)>xf(2-a)-f(a)>2-2a亠刃―打“卄心V'7±7V7•若八'八丿一，则实数a的取值范围答案(-8J]Tff(-£)+ff(H)=2甘+f(2；)_2x2=0二函数"⑺）为奇函数.4/x€（0,+oo）时gf（x）=f（x）-x＞0故函数曲在®+°°）上是增函数,
