高考理科数学导数经典题(详解)

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1、1．（15分）已知函数f（x）=21nx+ax2﹣1（a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．（i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．2.（15分）设函数，；（1）求证：函数在上单调递增；（2）设，，若直线轴，求两点间的最短距离.3．（本小题满分15分）已知函数.(Ⅰ)是否存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的

2、点Q也在函数的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义，其中，求；（Ⅲ）在（2）的条件下，令，若不等式对，且恒成立，求实数的取值范围.4．（本小题满分15分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.[来源:.Com](Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，求证：；(Ⅲ)定义集合请问：是否存在常数，使

3、得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.5.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.（Ⅰ）求函数f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.6.（本小题满分12分）设a≥0，函数f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]ex，g(x)＝2－a－x－.（Ⅰ）当a≥1时，求f(x)的最小值；（Ⅱ）假设存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得

4、f(x1)－g(x2)

5、＜1成立，求a

6、的取值范围.7.（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）证明：当，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.8．（本小题满分12分）：已知函数（1）当时，求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：9．（本小题14分）已知函数（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（2）求的单调区间；（3）设若对任意均存在使得求的取值范围。10．（本小题14分）设函数（），其中（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立11.(2

7、014年1月青浦)**(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分，第(3)小题8分.设集合.（1）已知函数，求证：;（2）对于（1）中的函数，求证：存在定义域为的函数，使得对任意成立.（3）对于任意，求证：存在定义域为的函数，使得等式对任意成立.12.己知函数在处的切线斜率为(1)求实数的值及函数的单调区间；(2)证明：1.（I）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax2+2＞0①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒

8、成立，∴f（x）递增区间是（0，+∞）；②当a＜0时，由2ax2+2＞0可得＜x＜x＞0，∴f（x）递增区间是（0，），递减区间为；（6分）（Ⅱ）（i）解：设F（x）=f（1+x）+f（1﹣x）=2ln（1+x）+2ln（1﹣x）+2x2,,则F’（x）=∵0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上为减函数∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴实数m的取值范围为[0，+∞）；（10分）（ii）证明：∵f（x1）+f（x2）=0，∴21nx1+x12﹣1+21nx2

9、+x22﹣1=0∴2lnx1x2+（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2=0∴（x1+x2）2=2x1x2﹣2lnx1x2+2设t=x1x2，则t＞0，g（t）=2t﹣2lnt+2，∴g′（t）=令g′（t）＞0，得t＞1，∴g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增∴g（t）min=g（1）=4，∴（x1+x2）2＞4，∴x1+x2＞2．（15分）2.（1）时，，所以函数在上单调递增；---------------------------------------------------

10、--6分（2）因为，所以---------------------8分所以两点间的距离等于，------9分设，则，记，则，所以，------------------------------------12分所以在上单调递增，所以------------14分所以，即两点间的最短距离等于3.---------------15分3.（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为.由，得，即对恒成立，所以解得所以存在点，使得函数的图像上任意一点