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《中考数学复习指导：直角坐标系中平行四边形存在性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1+(—l)=2+y,直角坐标系中平行四边形存在性问题解决平而直角坐标系屮平行四边形的存在性问题，既要考虑多种平移情况，又要进行画图分析，对于学生难以掌握.笔者通过探究，发现有更简洁的方法，供大家参考.预备知识1若在平面直角坐标系中，A3,0),Bg,0),则的中点为(乞竺,0).-2预备知识2若在平面直角坐标系中，Ay,)%/,%)，贝MB的中点为'2'2•由此可知，若ABCD是平行四边形，则AC与BD的中点为同一点，所以，若在平面直角坐标系中，ABCD是平行四边形，且/l(xI,y1),B(x2,)?2),C(x3,y3),£)(%4
2、,y4),则有X}+X3_£+兀4f2~2Lx+力_力+儿2_2由此可得结论:平行四边形每条对角线的两个顶点的横坐标之和与纵地标之和分别相等.根据这个结论就可简洁地解决平面直角坐标系屮平行四边形存在性问题.例1已知平面直角坐标系内三点A(2,l),B(3,-l),C(-2,2),在平面内求一点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D的坐标.解设D(x,y),分三种情况：(1)若AB为对角线，则根据平行四边形每条对角线的两个顶点的横(纵)坐标Z和分别相等，可得2+3=—2+兀，解得rx—l・・・0(7,-2)(2)若AC为对
3、角线，则有2)(—3,4).(3)若AD为对角线，则有2-2=3-兀，解得rx——3,1+2=-l+y,ly=4.2+兀二3—2,解得rX=-ll+y=-l+2,I)‘=0・・・D(-l,0)综上所述，满足条件的点D有三个，坐标分别为：9(7,-2)，2(-3,4)，2(-1，0).方法归纳若在平面直角坐标系屮，已知一个四边形为平行四边形，则只要把卩q个顶点的坐标写出来(可以有两个未知数)，再根据“平行四边形每条对角线的两个顶点的横(纵)坐标之和分别相等”，可以列出两个等式，组成方程组，从而把问题转化为解方程组，不需要画图分析，也不需要分
4、动点的个数讨论例2如图1,在坐标系my中，ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,A(1,O),B(0,2),抛物线丁=丄扌+加一2过点C.2(1)求抛物线的解析式；(2)平移该抛物线的对称轴所在直线/,当移到何处时，恰好将ABC的面积二等分；(3)点P是抛物线上一动点，问是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?若存在,解⑴,⑵略；1.11.1(3)由(1)可求得抛物线的解析式为：y=一一x-2,故可设P(x-x2一一兀一2).2222因为A(1,O),B(0,2),C(3,l)，且四边形PACB为平行以边形，「兀+3=1+0,
5、n191—x~—%—2+1=0+2.22解得兀二―2,得P(-2,1).故存在P(-2,1),使四边形PACB为平行四边形.例3如图2,矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在兀轴的正半轴上，C在y轴的正半轴上，04=4,OC=3.若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，问是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出N点的坐标;若不存在，请说明理由.解⑴,⑵略；19(3)由⑴知y=-一x2+3x;由⑵
6、知点D的坐标(1,-).2429设M(加,—一加2+3加),N(zO)・・・・A(4,0),£)(1,—),所以当AD为对角线时:34r4+l=m+n,解得ym=,(舍去)^0+—=0——m2+3/72.1川=4；44当AM为对角线时了4+加=1+〃,解得I-—m2+3m+0=—+0.解得加=2+勺，(舍去)7n=.44当AN为对角线甲：4+n=m+1,m=2-V7,0+0=-^―m2+3/n+—.n=-l+44所以，N点的坐标为(2,0)，或(6,0)，或(-V7-1,0),或(V7-1,0).例4如图3,在平面直角坐标系xoy中,抛
7、物线y=-(x-m)2-—m2+加的顶点为A,'44与y轴的交点为B.连结AB,作AC丄AB,AC交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD,作AE//X轴，DE//y轴，AE,DE交于E.(1)当m=2时，求点〃的坐标;⑵求ED的长；(3)①设D的坐标(x,y),求y关于兀的函数解析式;②过点D作A3的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P,当加为何值时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形？解⑴,⑵略；⑶①略；②由已知,顶点A的坐标为(m9-—m2+m),与y轴交点B的坐标为B(0,m).4•由⑶①知D(
8、2m,-—m2+m+4),4・•・y与无的函数解析式为y=一-x2+—x+4,故可设戶(无,一-x2+丄兀+4).162162因为PDHAB,所以以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形有两
