10.1分类计数与分步计数

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1、热烈欢迎各位专家老师莅临我班指导教育教学工作!10.1两个计数原理要点梳理1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情,共有N=种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=种不同的方法.㈠几种分类问题的解决方法1.探索法:对情况复杂,不易发现规律的问题,要仔细分析,探索其中规律,再予以解决

2、.eg1.从1到10的整数中,每次取两个不同数,使它们的和大于10,问不同的取法有多少种?分析:此题数字较多,情况不一样.需要分析摸索其规律.为方便,我们设两个加数中较大的为x,两个加数中较小的为y,即x+y>10当x=10时,y=9,8,7,6,5,4,3,2,1(有9种);当x=9时,y=8,7,6,5,4,3,2(有7种);当x=8时,y=7,6,5,4,3(有5种);当x=7时,y=6,5,4(有3种);当x=6时,y=5(有1种);共有9+7+5+3+1=25种训练题1:从0到9的数字构成的两位数中,问其中十位数字小于各位数字有多少个?答案:

3、8+7+6+5+4+3+2+1=36个想一想⑴:从0到9的数字构成的两位数中,问其中十位数字大于各位数字有多少个?2.直排枚举法:也称“穷举法或列举法”.当题目中的附加条件增多,结果数目不大,解决它的方法又不一般,采用穷举法有时能取得意想不到的效果。eg2某用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的磁盘A和B,其中要求A磁盘至少3个,B磁盘至少2个,问有多少种不同的选购方法?分析:设选购A磁盘x个,B磁盘y个,则有当x=3时,y=2,3,4(3种)当x=4时,y=2,3(2种)当x=5时,y=2(1种)当x=6时,y=2(1种)共有7

4、种训练:1.某人欲用拾元,伍元,贰元,壹元币若干张去支付15元车费,问有多少种不同的支付方法?答案:22种3.对应:有些时候,一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系。eg1.在100名选手之间抽签进行单循环淘汰赛(即一场比赛后,失败者永久退出比赛.无人抽签的选手和比赛后的胜者竞争),问到最后产生一名冠军,需举行多少场比赛?分析:要产生一名冠军,需要淘汰99名选手.要淘汰掉一名选手,必须举行一场比赛;反之,每场比赛恰淘汰一名选手.两者之间一一对应.故要淘汰99名选手,应举行99场比赛,从而产生一名冠军.答案:99场.1.“树形”图:对某些分步进行的问题

5、,可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示eg1.四人各写出一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张贺卡的不同分配方式有多少种?㈡几种分类问题的解决方法1.“树形”图:对某些分步进行的问题,可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示㈡几种分类问题的解决方法分析:将四张贺卡分别记为A,B,C,D.由题意,某人（不妨设为A卡的供卡人）取卡有3种情况.因此将卡的不同分配方式分为三类,对于每一类,其它人依次取卡分步进行.为避免重复或遗漏现象,可用树状图表示.ABCDABCDABCD↗A→D→C↗A→D→B↗A→B→CB→C→D→AC

6、→D→A→BD→C→A→B↘D→A→C↘D→B→A↘C→B→A所以共有9种不同的分配方式.2.住店法:解决允许重复排列问题要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复.把不能重复的元素看成“旅客”,能重复的元素看成“旅店”.在利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”.想一想:m个旅客投宿到n旅店,有多少种投宿方法?有种eg2.有5名运动员争夺3个项目的冠军(没有并列),问所有可能的结果有多少种?分析:因为同一运动员可以同时夺得几项冠军,故运动员可以重复排列,将5名运动员看作五个信箱,3项冠军看成3封信,每封信可以投进五个信箱,有5种投递方法.由

7、乘法原理知有5×5×5=125种.练习:1.有4名学生报名参加跳高、跳远、跳绳三项比赛,每人限报一项,问有多少种不同的报名方法?2.有4名学生争夺跳高、跳远、跳绳三项比赛的冠军,每项只有一个冠军,问有多少种不同的冠军结果?3.三个班欲到5个风景点去游览,每班只能选一个景点,问有多少种不同的选法?练习:1.有4名学生报名参加跳高、跳远、跳绳三项比赛,每人限报一项,问有多少种不同的报名方法?2.有4名学生争夺跳高、跳远、跳绳三项比赛的冠军,每项只有一个冠军,问有多少种不同的冠军结果?2.有4名学生争夺跳高、跳远、跳绳三项比赛的冠军,每项只有一个冠军,问有多

8、少种不同的冠军结果?练习:1.有4名学生报名参加跳高、跳远、跳绳三项比赛,每人限报一项,问有多