分类计数与分步计数原理

《分类计数与分步计数原理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.1.3分类计数原理与分步计数原理（三）一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧?练习：三个比赛项目，六人报名参加。１）每人参加一项有多少种不同的方法？２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？例1用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?升华发展一、排数字问题1、将数字1,2,3

2、,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种引申:１号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只有１种填法。所以共有3*3*1=9种不同的方法。二、映射个数问题:例2设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?三、染色问题:例3有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?(2)若为(2

3、)着色时共有120种不同方法,求n①③①④③④②②(1)(2)２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？若用2色、4色、5色等

4、,结果又怎样呢？答:它们的涂色方案种数分别是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180种等。思考：３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有种。ABCD分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。　第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2

5、种方法。根据分步计数原理，　　　　共有5×4×3×2＝120种方法。根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答）（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24

6、=120种.（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看　　　知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求6、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）425、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？四、子集问题规律：n元集合的不

7、同子集有个。例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。五、综合问题:例4若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?２、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于75600=24×33×52×775600的每个约数都可以写成的形式,其中　　　　,　　　,　　　,于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取