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时间:2019-09-07
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1、第五讲:数学思维训练之假设法解决数学问题一、鸡兔同笼问题1、知识介绍:大约在1500多年前,我国的大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”这四句的意思就是:有若干只鸡和兔在同一个笼子里,从上面数,有三十五个头;从下面数,有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔?这就是“鸡兔同笼”问题,它是我国古代著名趣题之一。同学们,你会解答这个问题吗?你道古人是怎样解决的吗?今天我们将会用怎样的方法去解决呢?这就是这专题学习的一个重点,巧用假设法去解此类问题是非常简单的,也很好
2、理解。在日常生活有关鸡兔同笼的问题很多,如运输打坏玻璃如何赔偿、两种钱放在一起如何分开,考试中答错答对问题等等这些问题,用假设方法去解答,能化难为易。2、探索题目:小梅数她家的鸡与兔,数头有8个,数脚有26只。问:小梅家的鸡与兔各有多少只?解法一:(古人解法)提足法:我们先了解古人在解决此类问题的方法。原来,孙子在解决时大胆的设想,先让每只鸡提起一只脚,每只兔提起两只脚。这样,每只鸡则变成了“独脚金鸡”了,而每只兔则变成了“双脚怪兔”了。这样,现在脚的总数只有原来的一半了。我们再让它们提一次脚,让每只鸡和每只兔都提起一只脚来
3、,现在每只鸡则变成“无脚鸡”,而每只兔则变成了“独脚兔”了。这样,它们又提起了8只脚,所剩下的脚就只有兔子的脚了,从而求出了兔的只数来,再求鸡的只数就非常简单了。[解答]兔的只数:鸡的只数:解法二:画图法(画头添足法)5根据画图的过程列出算式:[解答]兔的只数:鸡的只数:解法三:假设法因为有8头,说明鸡和兔的总只数为8只,我们不妨假设笼子里全部者是兔子,1只兔子有4只脚,所以共有32只脚,而实际只有26只脚,从中多出了6只脚来,为何多出6只脚呢?是因为我们把笼子里的鸡当成了兔子造成的。而我们每只鸡只有2只脚,从而多算了2个脚
4、来,由此可求出鸡的只数来,再求出兔子的只数,问题就解决了。当然还可假设笼子里全都是鸡来解决,请小朋友去完成吧。[解答]假设8只全都是兔子。鸡的只数:兔的只数:2、小明参加一次数学竞赛,试题共有10道,每做对一题得10分,错一题扣5分,小明共得了70分,他做对了几道题?分析:假设他做对了10道题,那么应得10×10=100(分),而实际只得70分,少30分,这是因为每做错一题,不但得不到10分,反而倒扣5分,这样做错一题就会少10+5=15(分),看30分里面有几个15分,就错了几题。解: (10×10-70)÷(10+5)
5、 =30÷15 =2(道) ------ 错题 10-2=8(道) 答:他做对了8道题。3、有面值5元和10元的钞票共100张,总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张?分析:假设100张钞票全是5元的,那么总值就是5×100=500(元),与实际相差800-500=300元差的300元,是因为将10元1张的算作了5元的,每张少计算10-5=5(元),差的300元里面有多少个5元,就是多少张10元的钞票。解: (800-5×10)÷(10-5)
6、 =300÷5 =60(张) ------10元面值 100-60=40(张) 答:有10元的钞票60张,5元的钞票40张。4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只,共140条腿和23对翅膀,三种动物各多少只?(蜘蛛8条腿,蜻蜓6条腿2对翅膀,蝉6条腿1对翅膀)分析:假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿,那么总腿数是6×21=126(条),比实际少140-126=14(条),这是因为一只蜘蛛是8条腿,把它算作6条腿,每只蜘蛛少计算了8-6=2(条),少算的14条里
7、面有几个2条,就是几只蜘蛛,即14÷2=7(只)。从总只数里减7只蜘蛛,就得21-7=14(只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这14只全是蜻蜓,那么翅膀应是2×14=28(对)比实际多28-23=5(对),这是因为蝉是1对翅膀,把它算成2对了,每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对,就是几只蝉。求出了蝉,蜻蜓可求。解: (140-6×21)÷(8-6) =14÷2 =7(只) ------ 蜘蛛 21-7=14(只) (2×14-23)
8、÷(2-1) =5÷1 =5(只) ------- 蝉 14-5=9(只) ------ 蜻蜓答:蜘蛛7只,蜻蜓9只,蝉5只。小试牛刀:1)、大油瓶每瓶装4千克,小油瓶每瓶装2千克,现有200千克油装了共60个瓶子。问大
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