高中文科数学导数

《高中文科数学导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、高中文科数学导数(陈文彬)导数的定义：导数的定义及几何意思和函数单调性的应用判定以及函数的几只问题。当自变量的增量"ux-xO,Ax->0时函数增量Ay=f(x)—f(xO)与自变量增量Z比的极限存在且有限，就说函数f在xO点可导，称Z为f在xO点的导数(或变化率).函数y=f(x)在xO点的导数F(xO)的几何意义：表示函数曲线在PO[xO,f(xO)]点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这…点上的切线斜率)。一般地，我们得出用函数的导数來判断函数的增减性(单调性)的法则：设y=f(x)在Q,b)内可导

2、。如果在(a,b)内，f(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。如果在(a,b)内，F(x)vO,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以，当F(x)=0时，y=f(x)有极大值或极小值，极大值屮最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。1•导数的几何意义：函数尸/⑴在点必处的导数的几何意义就是曲线y=/(龙)在点(勺,/(劝)处的切线的斜率，也就是说，曲线y=/(x)在点P(x0,/(x))处的切线的斜率是/'(勺)，切线方程为1y-yo=f(x)(x-x

3、0).2•导数的四则运算法则：(u±v)=m±v'=>y=/l(x)+f2(x)+...+fn(x)=>y*=f；(x)+£(兀)+.・.+fn(x)(uv)=VU+Vw=>(cv)=cv+cv=cv(c为常数)vu-vwz八、——(vh0)v3•常见基本初等函数的导数公式Cf=0(。为常数)(xny=,neQ*;(sinx)f=cosx;(cosx)r=-sinx;导数定义(ax)'=axa(a〉0卫H1);(lnx)'=-;X例1.y=/(x)=2JCax+bX1在x=1处可导，则a=思路：y=

4、/(x)=X1ax^bx<]一在x=1处可导，必连续limf(x)=1X>1z-limf(x)=a+b/(l)=1a^b-1XTl+lim鱼=2lim型Aa2、n+A心t(tAx心to+Ar例2.已知f(x)在x=a处可导,a=2h=-Sfz(a)=b,求下列极限:例3.观察(xnY=njcH~］,(sinx)z=cosx,(cos%)'=-sinx,是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。令*刃是可导的偶函数，且令贝为1=孑仏巩。因为*一力］=.宜力］,两边同吋导得f勺一冷兀

5、一冷F=f伽1,即一页一硏=爼炉］,所以0対是奇函数，即可导的偶函数的导数为奇函数。利用导数证明不等式例4.求证下列不等式X-——xg(0,—)(相除)71271(3)x-sinx021+xx+1•:y=fM为(o,+b)上T/•xg(0,+oo)f(x)>o恒成立xX・・・ln(l+x)>x

6、一-—g(x)=x--~——-ln(l+x)g(0)=022(1+x)4x2+4x-2x212x2门g(兀)=1：=>04(1+x)21+x4(1+/)Y/•xe(0,+oo)xln(l+x)>0恒成立2(1+X)例5.已知函数f(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0

7、：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式（xHy=nxn-可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x二1时，=1+2+3+•••+n=+当xHl时，»+1两边都是关于X的函数，求导得即&=1+2x+3x2+…1-X(I®（2）・・・（l+x广=1+C>+C>2+…+U；h,两边都是关于x的函数，求导得班l+x）i+2C：x+3C冷彳+…+班群兀1。令X=1得”•肝=C；+2C；+近+…+血,即&=q+辺+近+…+吨7・2-。导数

8、的应用函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数）=/（朗在某个区I'可内可导,如果/（X）>0,则y=f（x）为增函数；如果fx）<0,则尸/（X）为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数）"0在区I'可/内恒有fx）=0,则）y/（x）为常数.单调区间讨论例7・设a>0,求函数f(x)=4x-ln(x+a)(xg(0,+oo)的单调区间.分析:本小题主要考查导数的概念和计算，应用导