高中文科数学-导数.doc

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1、高中文科数学导数（陈文彬）导数的定义：导数的定义及几何意思和函数单调性的应用判定以及函数的几只问题。当自变量的增量Δx＝x－x0，Δx→0时函数增量Δy＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数（或变化率).函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y＝f(x)在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，

2、f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0,则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y＝f(x)有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。1.导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为2.导数的四则运算法则：（为常数）3.常见基本初等函数的导数公式（C为常数）导数定义例1．在处可导，则思路：在处可导，必连续∴∴例2．已知f(x)

3、在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）；（2）例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。令是可导的偶函数，且令。因为，两边同时导得，即，所以是奇函数，即可导的偶函数的导数为奇函数。利用导数证明不等式例4．求证下列不等式（1）（相减）（2）（相除）（3）证：（1）∴为上∴恒成立∴∴在上∴恒成立例5.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0

4、用导数求和：（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，；当x≠1时，，两边都是关于x的函数，求导得即（2）∵，两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即。导数的应用函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数.单调区间讨论例7．设，求函数的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概

5、念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：.当时.（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.例8.已知函数，讨论的单调性.例9.已知函数,其中（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极

6、小值同理）当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点是可导函数的极值点，则=0.但反过来不一定成立.（为什么）对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.②例如：函数，在点处不可导，但点是

7、函数的极小值点.求函数极值的步骤　　①确定函数的定义域；　　②求导数；　　③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根；　　④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.函数的最值　　(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值

8、）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a，b］的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念．　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤　　①求f(x)在(a，b)内的极值；