狭义相对论公式及证明(幽灵蝶)

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1、狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标：m(x,y,z)力：NF(f)时间：st(T)质量:kgm(M)动量:kg*m/sp(P)位移：mr速度：m/sv（u）加速度：m/sA2a长度：m1（L）路程：ms（S）角速度：rad/sco角加速度:rad/sA2a能量:JE冲量:N*sI动能：JEk势能：JEp力矩：N*mM功率：WP牛顿力学（预备知识）（一）：质点运动学基本公式：（l）v=di7dl,r=rO』rdt（2）a=dv/dt,v=vO-iJadt（注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式）当v不变时，（1）表示匀速直线运动。当a不变时，（2）表示匀变速直线运动。只要知道质点的运动

2、方程它的一切运动规律就可知了。（二）：质点动力学：（1）牛一：不受力的物体做匀速直线运动。（2）牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。F=ma=mdv/dt=dp/dt（3）牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。（4）万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。F=GMm/rA2,G=6.67259*10A（-ll）mA3/（kg*sA2）动量定理:l=fFdt=p2-pl（合外力的冲量等于动量的变化）动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。动能定理：W=fFds=Ek2-Ekl（合外力的功等于动能的变化）机械能守恒：只有重力做功时，Ekl+Epl二Ek2+

3、Ep2（注：牛顿力学的核心是牛二：F二ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程=说）,若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r（t）,可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况。）■狭义相对论力学：（注：y=l/sqr（1-uA2/cA2）,p=u/c,u为惯性系速度。）（一）基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。（此处先给出公式再给出证明）（二）洛仑兹坐标变换：X=y（x-ut）Y=yZ=zT=y(t-ux/cA2)(三)速度变换：V(x

4、)=(v(x)-u)/(l-v(x)u/cA2)V(y)=v(y)/(y(l-v(x)u/cA2))V(z)=v(z)/(y(l-v(x)u/cA2))(四)尺缩效应：△L=Z1/y或dL二dl/Y(五)钟慢效应：或dt=di/y(六)光的多普勒效应:v(a)=sqr((l-p)/(l+p))v(b)(光源与探测器在一条直线上运动。)(七)动量表达式：P=Mv=ymv,即M=ym.(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt(九)质能方程：E=McA2(十)能量动量关系:EA2=(E0)A2+PA2cA2(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。

5、)三维证明：(一)由实验总结出的公理，无法证明。(二)洛仑兹变换：设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,乙T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=O,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=Oo可令x二k(X+uT),(l).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，宙于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),山相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k二K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z

6、(4).将⑵代入⑴可得：x=kA2(x-ut)+kuT,即T=kl+((lW2)/(ku))x,(5).(l)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)⑵式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c・u).两式相乘消去t和T得:k=l/sqr(l-uA2/cA2)=y.将y反代入⑵⑸式得坐标变换：X=y(x-ut)v=yZ=zT=y(t-ux/cA2)(三)速度变换：V(x)=dX/dT=y(dx-ut)/(Y(dt-udx/cA2))=(dx/dt-u)/(l-(dx/dt)u/cA

7、2)=(v(x)-u)/(l-v(x)u/cA2)同理可得V(y),V⑵的表达式。(一)尺缩效应:B系中有一与x轴平行长1的细杆，则由X=y(x・ut)得：AX=y(Ax-uAt),又△=()(要同时测量两端的坐标)，则厶X=yAx,即：Al=yAL,AL=Al/y(二)钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，t=y(T+Xu/cA2),故△t=y(ZT+ZXu/cA2),又△X=0,(要在同地测量)，故厶t=