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1、狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标m(x,y,z)力NF(f)时间St(T)质量kgm(M)位移mr动量kg*m/sp(P)速度m/sv(u)能量JE加速度m/s"2a冲量N*sT长度m1(L)动能JEk路程ms(S)势能JEp角速度rad/sG)力矩N*mM角加速度rad/s2a功率wP一、牛顿力学（预备知识）1.质点运动学基本公式:（1）v=dr/dt,r=rO+frdt（2）a=dv/dt,v=vO+fadt（注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式）当v不变时，（1）表示匀速直线运动。当a不变时，（
2、2）表示匀变速直线运动。只要知道质点的运动方程r=r（t）,它的一切运动规律就可知了。2.质点动力学：（1）牛一：不受力的物体做匀速直线运动。（2）牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。F=ma=mdv/dt=dp/dt（3）牛三：作用力与反作与力等人反向作用在同一肓线上。（4）万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。F二GMm/r'2,G二6.67259*10"（-ll）nT3/（kg*s"2）动量定理：T=/Fdt=p2-pl（合外力的冲量等于动量的变化）动量守恒：合外力为零时，系统
3、动量保持不变。动能定理：W二jFds二Ek2-Ekl（合外力的功等于动能的变化）机械能守恒：只有重力做功时，Ekl+Epl二Ek2+Ep2（注：牛顿力学的核心是牛二：F二晌它是运动学与动力学的桥梁，我们的1=1的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r（t）,若知受力情况，根据牛二可得再根据运动学基本公式求同样，若知运动方程r=r（t）,可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况。）二、狭义相对论力学（注：Y=l/sqr（l-u*2/c*2）,3=u/c,u为惯性系速度。）1.基本原理：（1）相对性原
4、理：所有惯性系都是等价的。（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。（此处先给出公式再给出证明）2.洛仑兹处标变换：X=Y（x-ut）Y=yZ=zT=y(t~ux/c*2)1.速度变换：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c"2)V(y)=v(y)/(Y(1-v(x)u/c"2))V(z)=v(z)/(Y(1-v(x)u/c"2))2.尺缩效应：或dL二dl/y3.钟慢效应：二YAT或dt=dT/Y4.光的多普勒效应：v(a)=sqr((l-0)/(l+[3))v(b)(光源与探测器在一条总
5、线上运动。)7・动量表达式：P二Mv=Ymv,即M二Ym8.相对论力学基本方程：F二dP/dt9.质能方程：E9k/210.能量动量关系：E"2=(E0厂2+P"2c"2(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空屮证明，实际上他们是等价的。)三、三维证明1.山实验总结岀的公理，无法证明。2.洛仑兹变换：设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0o可令x=k(X+uT
6、),仃).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是少u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处冇X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外,两式应取相同的形式，即k二K.故有X二k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y二y,(3).Z二z(4).将⑵代入⑴可得：x=k"2(x-ut)+kuT,即T二kt+((l-k"2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。
7、当两系的原点重合吋，由重合点发出一光信号，则对两系分別有x二ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c~u).两式相乘消去t和T得：k=l/sqr(l-u^2/c^2)=Y.将Y反代入(2)(5)式得坐标变换:X=Y(x-ut)Y二yZ=zT=Y(t-ux/c"2)3.速度变换：V(x)=dX/dT=Y(dx-ut)/(Y(dt-udx/c"2))=(dx/dt~u)/(1一(dx/dt)u/c"2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c"2)同理可得V(y),V(z)的表达式。
8、4.尺缩效应：B系屮有一与x轴平行长1的细杆，则由X=y(x-ut)得:AX二y(Ax-uAt),又At二0(要同时测量两端的坐标)，则△X=yAx,即：Al=¥AL,AL=A1/Y1.钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知,t=Y(T+Xu/c^2),故二Y(△T+AXu/cV),又AX=0,(要在同地测量)，故At二yAT.(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔
