高一同步学讲义函数的性质、基本函数

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1、函数的性质(I)——奇偶性与单调性【知识要点】1.函数的奇偶性设函数y=/(x)(xwD),任取xwD,有(1)/(x)=/(-x),则称函数y=f(x)为偶函数。(2)f(x)=-f(-x)，则称函数y=于(兀)为奇函数。【析】⑴函数的奇偶性是函数的整体性质，是对函数的整个定义域而言⑵由fM=f(-x)(/(%)=-/(-%))若兀wD，贝'J-xeD,因此,函数f(x)的定义域D关于原点对称是函数/'(X)为偶函数(奇函数)的必要条件(非充分)(3)若OwQ,则/(0)=0是/⑴为奇函数的必要条件(非充分)⑷常熟函数/(x)=c(xeR)-定是偶函数

2、；若c=O则/(兀)即是偶函数又是奇函数；反Z,—个函数于(兀)即是偶函数乂是奇函数o/(x)=0(xeD,K中D是关于原点对称的任何一个非空数集。如D=(-2,2),D={1,2,-1,-2},D={0}等)⑸奇偶函数的图像特征：函数/(兀)是奇函数o函数/(兀)图像关于原点对称两数/(x)是偶函数o函数/(%)图像关于y轴对称⑹奇偶函数的运算性质：设f(x)(xeD})为奇函数，g(x)(xeD2)为偶函数，D=D,^D2则在D上有：奇±奇=奇，偶±偶=偶;奇x奇=偶,偶x偶=偶,奇x偶=奇；2.函数的单调性对于区间D上的函数f(x),在D上任取两个

3、x},x2,x}0，则称/(x)在区间D上是减函数,区间D称为函数/(%)的单调减区间【析】(1)函数的额单调性是函数的局部性质，研究函数的单调想可以再定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上)；函数的定义域可以冇若十个增减性不同的单调区间；若函数/(X)在報个定义域上单调，则称/(兀)为单调函数。⑵函数单调性二个等价形式：(a)•心)-'(心)>o(<0)0/(兀)在D上单调递增(递减)；兀］_兀2(

4、b)(x.-x2)［f(xx)-/(x2)］>0(<0)f(x)在D上单调递增(递减)(3)若f(x)在R上单调递增，则f(a)>f(b)od〉b；若/(x)在R上单调递减，则f(a)>f(b)oa

5、一兀2)［/(禹)一/(兀2)］(<)°o/(x)在D上是增(减)函数(5)单调性与奇偶性:若奇函数/(兀)在区间［d,b］上单调递增(减)，则于(兀)在区间［-b-a］上单调递增(减)；若偶函数/(x)在区间［a,b］上单调递增(减)，则于(兀)在区间［-b-a］k单调递增(增)；【典型例题】1.函数奇偶性的判定问题【例1］判断下列

6、函数的奇他性:(1)/(•¥)=；(2)f(兀)=J1-兀2+J-1+兀2;x-lX2+X(%>0),/(x)=<；(5)/(兀)=h+ox+l.x2-x(x<0)【分析】利用奇偶函数的定义和奇偶函数的必要条件.⑶f(x)=xVl-X2

7、x+2

8、-2；【解答】(1)考虑/(x)的定义域：:.定义域不关于原点对称,・・・/(兀)是非奇非偶函数；[1—%2no(2)考虑/(x)的定义域：｛=>兀=±1,此时/(兀)=0,[-1+X2>0・・・/(兀)既是奇函数也是偶函数；l-x2>0[-<兀<1(3)由｛=>｛」兀+2

9、-2h0[x^O・•・/(兀)=“[:

10、=J1」(XH0,-1K1),・•・f(x)=/(-x),无+2-2・・・于(兀)是偶函数;(4)当x>0=>-x<0,.I/(-%)=(-x)2+x=x2+x=/(%),当x<0=>—兀〉0,/(-x)=(-x)2-x=x2-x=/(x),/.对任意兀WR,兀H0,冇/(x)=f(-x),・・・于(兀)是偶函数；(5)定义域为R,/(X)-/(-%)=(x2--ax+1)-(X2-ax+1)=2ax,若a=0,则/(x)-/(-%)=0=>/(%)=f(-x),；./(x)是偶函数;若ghO,贝02ax0,又对任意xwR,f(x)+f(-x)=2x2

11、4-2^0,・・・于(兀)是非奇非偶函数,综上所述，当0=0时，/(X)是偶函数；当QH0时，/⑴是非奇非偶函数【点评】奇偶两数的判定一般先考察/⑴的定义域，在确定/(-X)与/(兀)的关系.有些时候利用奇偶性定义式的变式：f(x)±f(-x)=0来判定要简单一点，如木例(5).1.奇偶函数的解析式问题【例2】已知/⑴是R上的奇函数,且当兀>0时,/(x)=x2(l-x).求于(兀)的解析式.【分析】利用奇偶性定义，把兀与-X,/(兀)与/(-%)进行转化.【解答】对于任意兀<0=>-兀〉0,・・•/(x)是奇函数，・・・/(X)=-/(-x)=-(-^

12、)20+x)=-x2(l+x)(x<0),乂OwR,・・・/(0)=0,x2(l