函数的基本 性质

《函数的基本 性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第二讲函数的性质（一）一、函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是或，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做y＝f(x)的单调区间．3、单调

2、性的判定方法（1）定义法：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2∈D，且x1

3、同即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）4、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．6②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数二、函数的最值前提设函数y＝f(x)的

4、定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值利用图象求函数的最大（小）值利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调

5、递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；强调1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，

6、异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意]　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．三、例题讲解例1、证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．6练习1．判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．练习2（图像法）．函数f(x)＝

7、x－2

8、x的单调减区间是(　　)A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)[例2]　(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)

9、_．(2)若函数f(x)＝

10、2x＋a

11、的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.练习3．(1)函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．(2)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝__________.四、随堂练习1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的（）A．y＝　　　　B．y＝3x2＋1C．y＝D．y＝

12、x

13、2．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(

14、x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负3．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)4.如果函数上单调递减，则实数满足的条件是(　　)A．(8，＋∞)B．[8,＋∞)C．(