高二数学平均不等式与不等式的应1

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1、高二数学平均不等式与不等式的应用本周复习内容：平均不等式与不等式的应用一、关于平均不等式平均不等式的儿个基木公式在整个代数中占冇重要的地位，它不仅在证明不等式屮冇着极其巫要的价值，同时在其它问题的求解中也有着广泛应用。在后面的不等式应用中就可以得以多方面的体现。儿个常见的平均值不等式：1)a2+b2>2ab(a,b丘R),当且仅当a=b时取号。2)2,当口仅当a=b时取“v号。3)baa&£±k&^b^-^(a>0,b>0)2a+b(a+bxl+i^4(a.beBl*)5)ab6产'+b3+c‘王3abc(a.bj:eR

2、*)7^a+b+ca3^bc(a,b>ceR*)1.关于几个常见平均值不等式的注意事项：对于公式1)的理解要注意以下三个方面:①原问题屮所给条件是a,bGR,但如果改变了条件，贝I何以进行更宽泛的应用，如规定a,b£R+,贝怖214b工2屆，此时，可以把a,b看成是这也是公式2)的出处；②结论的形式是多样的，也可以是22等，解决问题时不仅要学会对原形式的应用，同时也要理解公式的本质，掌握它的各种形式的变式。在学习数学问题的过程中，要明确每一个数学公式表示的是数学各个量Z间的一种本质，而不是固定丁•某一个简单的形式。③在使

3、用公式1)的过程中，即要注意到号成立的条件，明确当口仅当的含义，同时也要明确一个非常重要的内涵•…式子中的a,b不仅仅代表一个数，它同时也可以代表一个“式”，因此它有着广泛应用。对于公式2)它一则是公1)的另一种体现形式，同时它也有自身的应用特点，在教材中利用公式2)引岀求极值的基本概念。二、平均不等式的典型例题：例1设a,b,求证：J止*Jf7七屈"匕叔。+bg分析：本题的难点在于如何把虫疔进行处理，如果能够找到a+b与JaUl的关系，则问题得到解决:上：*b力三百(a+b)由公式4河得：22则间题容易证明。证明:工兰

4、竺°&"十戸工忑("叭(1)・・・同理可得：a施e+o⑵+»3之农(c+a)⑶三式相加即得：&7§(a4-b4-c)小结：观察木式可知所给不等式的结构是一个关丁r,b,C的轮换对称式，故在讨论问题时只需要抓住一个根式的情况进行分析研究即可。例2.已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc分析：本题中的特点比较明显，左边是三个和式而右边中含有系数6,故可用平均值不等式构造三个式子求和进行证明。证匸ba+ca32bc,a>0,二aQj3同理b(c^+aJ)2Ac,c(

5、^?4-b3)^2abc二a(b^4-ca)+b(ca+卫)+&壬+b=)36abc当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数(丄-咚-记-肝a!>c•a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc例3・已知a,b,cWR•，且a+b+c=l,求证:分析：注意到8=2能否考虑到三个式相乘中每个式中均可构成一个而得到的结果于是町对每一个式了进行分析,l-2^bcaa«町找到解决问题的途径。1—c_b4-a芒23_込2逅逼迟8・••三式相乘可得：越bcabc即原命题成立小结：如何

6、介理利用a+b+c=l是解决问题的关键，在证明含仔条件的不等式时，注意巧妙使川所给条件是容忽视的。(a+V+(b+-)a&—例4.设a>0,b>0口a+b=l,求证：ab2■+—£2分析：在本不等式中，如果直接利川•进行证明时，往往扩人了a,b的取值范围,同时也在变形的过程中使得放缩的跨度増加,注意到公式4）中的2可使问题简单化。但如果注意到条件，a>0,b>0,Ha+b=l,也可使用三角代换。11a+-+b+-1+-+-:.(ai-(b+^)a王2(」^~H)=2(弋电例5.求证：若a>0,分析：观察本问题时，我们注意

7、到血和2分别是两个代数式的下界，不易直接判断，但二者的平方值只和差一个常数，故可从此处入手。则Z证明：设=a+y=^a3+^-(a>0,Ba2Ly&^)小结：不筹式中的变形应用或构造方法是我们必须常握的手段。Ig-^^+lg>lg«+lgb+lgc例6.若a,b,c是不全相等的止数，求证：222分析：注意到対数的基本运算性质，原不等式可转化成以下不等式问题:>Igahe卜尬苇三亠览宁>Iga4lgb4lguQlg（学）（晋）（宁）0（譽（学符沁则问题显而易见。a+b证明:（仝X叱）（凸则三式相乘得：222lg芋仝+•l

8、g牛£十匕三二>lg*+lgb+lgc即：222・・・原命题成立例7.求证ia+b—I分析：从本不等式的结构门J以看出，左边是对数形式，而右边是一个整式，因此-要考虑把两边化成对数形式，然后比较两个真数的大小。・・・a+b_]=kgi（丄严证明：<2rh・・・y=kgR・乂暫为减函数=a+b—1（当且仅当a=b吋等号