西点课业--高考数学三角函数解题方法例题分析

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1、三角函数解题方法例题分析高考试题屮的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注垂三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，乂要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。一、知识整合1.熟练学握三角变换的所冇公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幕法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决

2、一些实际问题.2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能川它研究复介函数的性质；熟练寧握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数y=Asm(cox+(p)的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.二、高考考点分析各地高考中本部分所占分值在17〜22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，冇以下几个层次：笫一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。笫二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的

3、运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。三、方法技巧1.三和函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换:特别是用的代换，l=cos20+sin2=tanx•cotx=tan45°等。(2)项的分拆与用的配凑。分拆项：sin'x+2cos"x二(sin'x+cos'x)+cos2x=l+cos~x；配凑九：a二(a+B)—B,B二乞辺一纟二0等。22(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。(5)引入辅助介J。asin0+bcos

4、0=yja2+h2sin(0+p),这里辅助角0所在象限［tla、7b的符号确泄，0角的值rhtan(p-—确怎。a2.证明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异Z间的内在联系。（

5、3）介理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例1.已知tandVL求臂7&cosP—sin&W-：l+sin0cos〃+sin&=cos0cos&-sin&]sin&cos〃1+tan1—tan&=士华=_3_2近;（利用了什么？）1-V2例2.已知tan0=a/2,求sin2^-sin^.cos^+2cos20的值.解:sin20-sin0cos0+2cos20=sin20-sin0cos0+2cos20sin20+cos20sin20sin0cos0cos0臂+1cos~02-血+22+14-V23说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法

6、得到），进行弦、切互化,就会使解题过程简化。例3.求断数尹=l+sinx+cosx+(sinx+cosx)2的值域。解：=sinx+cosx=>/2sin(x+—)g[-V2,V2],贝ij原函数nJ化为4尹=广+7+1=(/H—)〜+二，I次I为/w[-V2,V2],所以24当7=血时’ymax=3+V2,.当f=时’儿山二扌'所以，函数的值域为川己,3+阿。4例4.已知函数/(x)=4sin2兀+2sin2x-2,xe7?0（1）求./、（x）的最小正周期、/（x）的最大值及此时x的集合;(2)证明：函数/(x)的图像关于直线x=--对称。8解：/(x)=4sin2

7、x+2sin2x-2=2sinx-2(l-2sin2x)=2sin2x-2cos2x=2/2sin(2x-—)4⑴所以/⑴的最小正周期T=7uf因为xwR,所以，当2x--=2^+-,即x=k7T+—时，/(x)最大值为2血42877(2)证明：欲证明函数/(x)的图像关于直线兀=-一对称，只要证明对任意xwR,有8TT7TX)=/(一石+X)成立，OO因为/(---X)=2V2sin[2(---x)--]=2^2sin(---2x)=-2^2cos2x,8842/(-—4-x)=2>/2sin[2(-—+x)-—]=2近sin(-—+