2抽象函数求值高中数学高考

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1、二、求值问题例1.对任意实数x,y,均满足f(x+y*f(x)+2[f(y)]2且f(l)HO,则f(2001)=.解析:这种求较大白变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：4%=77,>=i^f(n+1)=f(n)+^/(l)]2,令X二0,y二1,得f(0+l2)=f(0)+2f[(l)]2,令x二y二0,得：f(0)=0,.・・f(l)=丄，即f(n+i).f(n)=l,故1^)=二・・・£(2001)=空也・2222例2.已知f(x)是定义在R上的函数,f(l)=l,且对任意xER都有f(

2、x+5)Mf(x)+5,f(x+l)Wf(x)+l.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=」解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.而f(x+5)Mf(x)+5,所以g(x+5)+(x+5)・lNg(x)+x・l+5,又f(x+l)Wf(x)+l,所以g(x+l)+(x+l)・lWg(x)+x・l+l即g(x+5)Mg(x),g(x+l)Wg(x).所以g(x)Wg(x+5)Wg(x+4)Wg(x+3)Wg(x+2)Wg(x+1),故g(x)二g(x+1)又g(l)=

3、h故g(2002)=1.例3、已知偶函数/(兀)对任意无,y恒有f(x+y)=/(x)+/(^)+2xy+1成立，求/(0),/(1)的值.解:取兀=),=0,得/(0+0)=/(0)+/(0)+1,得/(0)=-1.取x=-y=f得/(1-1)=/(1)+/(-1)-2+1,又/(兀)为偶函数，则/(0)=2/(1)-1,故/(1)=0.评注：利用抽象函数的条件，通过赋值是解决抽象函数问题的最常用的方法.例4.(1996年高考题)设/(x)是(―oo,+oo)上的奇函数，/(2+x)=-/(%),

4、当0S兀51时,/(x)=X,则/(7.5)等于(-0.5)(A)0.5;(B)-0.5;(C)1.5;(D)-1.5.例5.已知/(劝的定义域为/?+,且/(x+y)=/(x)+f(y)对一切正实数x,y都成立,若/(8)=4,则/(2)=。分析：在条件/(x+y)=/(x)+/(j)中，令%=y=4,得/(8)=/(4)+/(4)=2/(4)=4,a/(4)=2又令x=y=2,得/(4)=/(2)+/(2)=2,r./(2)=l例6.已知/(兀)是定义在R上的函数，且满足：/(x+2)[l-/(x

5、)l=l+/(x),/(1)=1997,求/(2001)的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现/(兀)是周期函数，显然/(兀)工1，于是f(x+2)=1+/(01-/U)，/(兀+4)=1+/S+2)1一/(兀+2)1I1+/⑴1一心]_1+/(力l-/(x)所以/(x+8)=-1/U+4)=f(x),故/(x)是以8为周期的周期函数，从而/(2001)=/(8X250+1)=/(I)=1997变式训练：1.f(x)的定义域为对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)二2,则/

6、(迈)二(1)2o20002.如顆x+y)g)f(y),且心2,贝喘+詈+掛+•••+册的值是f(n)=T,原式严(?+兀2)+厂(2)+/(4)+八3)+/(6)+厂(4)+/忙f⑴/(3)f(5)f(7)3、对任意整数兀y函数y=f(x)满足：/(x+y)=/⑴+f(y)+xy+1,若/(1)=1,则/(-8)=CA.-lB」C.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对xwR都有/(x+6)=/(x)+/(3)成立，若如=2,则/(2005)=()(B)A.2005B.2C・1D.O5、定义

7、在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f'(x),又Y二f(x)过点(2,1),Y二f(2x)的反函数为Y=F(2x),则Y=P(16)为()(A)1-87A87C16—/D6、已知G为买数，且0VGV1J(兀)是定义mil上的函数，满足/*(0)=0,/(1)=1,对所有My,均有/(宁)=(1一+af(y)⑴求g的值⑵求/X*)的值1135、(1)•・•/(-)=a・・・/(-)=a/(-)=(-a)a+a24413X/(y)=/(七△)=(1一a)a2+a[a+叭1一“)],可解得a=I

8、]0+—

9、2(2)设％)=6则/(y)==23・•.f(-)=2伉同理f(-)=3b、…,/(!)=lb•••/(y)=^=y7、设函数f(x)的定义域是(—8,+-),满足条件：存在心工乃，使得/(心)工/(花)，对任何x和y,7(x+刃成立。求：(1)r(o)；(2)对任意值丛判断f(力值的正负。分析：由题设可猜测是指数函数尹=°"的抽象函数，从而猜想f(0)=1且f(x)>0。解：(1)令尸0代入y(x+y)=y(x)F0)，则/(x)=/(x)-