高中数学抽象函数

《高中数学抽象函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2014高三数学专题抽象函数特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx伙H0)幕函数f(x)=xn［或川)_f(x)］yf(y)指数函数f(x)=ax(q>0且q工1)［或f(x_『)=5)f(y)对数函数f(x)=log(ix(d>0且dH1)沧y)=/OOt/(y)［或f(d=f(x)_f(y)］y正、余弦函数/(x)=siruf(x)=cosxf(x+T)=f(x)止切函数f(x)=Unxf(x+y)=f(x)+f(y)1-f(x)f(y)余切函数f(x)=cotxf(x+

2、y)J」(x)f(y)f(X)+f(y)一•定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1・若函数y=f(X)的定义域是[—2,2],贝函数y二f(x+1)(x—1)的定义域为一15*1。解：/U)的定义域是[-2,2],意思是凡被f作用的对象都在[-2,2]中。评析：已练习:已知函数刊»的定义域是[-1,2],求函数y

3、log,(3-x)

4、的定义域。例2:已知函数/(log3x)的定义域为[3,11],求函数代方的定义域o[l,log3ll]评析：已知函数/W%))的定义域是A,求函数的定

5、义域。相当于求内函数°(龙)的值域。练习：定义在(3,8]±的函数代方的值域为[-2,2],若它的反函数为厂(方，贝U尸尸(2-3力的定义域为,值域为oL±1(3?8]3二、求值问题——抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.①对任意实数心，均满足＞+y2)=/(x)+2[/b9]2且/(1)工0,则/(2001)二•解析:这种求较大自变量对应的函数值，•般从找周期或递推式着手：4%=n,y=l，m«+1)=/(«)+21/d)]2,令*0,尸1,得几0+12)

6、曲0)+幼⑴]2,令兀=尸0,得:/(0)=0,：.f(1)=

7、,BPf(n+1)-f(n)=

8、,故f(n)斗,.・.f(2001)=竽.②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=fx由尸心+1)与尸厂(兀+2)互为反函数，则X2009)=・解析：由于求的是/(2009),可Ftly才匕+2)求其反函数尸/(力2所以＞+1)=»-2,乂几0)二0,通过递推可得^2009)=4918.例4・已知沧)是定义在R上的函数，/⑴=1,且对任意用R都有/(x+5)习⑴+5金+1)W/S)+l・若g(x)=

9、/(x)+l-x,则g(2002)=」解：由g(Q寸⑴+1兀得/⑴二ga)+Ql.而怒+5)2/⑴+5,所以g(x+5)+(jc+5)J2g(兀)+兀・1+5,又f(x+l)^：f(x)+l,所以g(x+l)+(x+l)・lWg(x)+x-l+l,即g(兀+5)Ng(x),g(兀+l)Wg(x).所以巩父(x+4)We(x+3)WeCx+2)WeO+1),故g(兀)=g(x+1)又g(l)T,故g(2002)=1.练习：1・/(兀)的定义域为(Q4呦，对任意正实数心都有您y)=/Wt/®)且几4

10、)二2,则咸)二—(*)器+等罟…+臨的值是一。2。。。o20003、对任意整数兀』函数y=/(x)满足：/(x+y)=/(x)+/(y)+xy+l,若/(1)=1,则/(-8)=CA.-lB.lC.19D.434、函数/(兀)为R上的偶函数，对"/?都有f(x+6)=f(x)+f⑶成立，若于(1)=2,则/(2005)=)(B)A.2005B.2D.O5、定义在R上的函数Y=/(兀)有反函数丫才匕)，乂Y=/(兀)过点(2,1),Y=f(2x)的反函数为Y=f(2兀)，则Y=f(16)为()(

11、A)C)8D)16136、已知a为实数,_&0

12、0+—

13、2(2)设/(-)=伏则/(-)=/(—-^)=-/(-)//乙厶/73/(亍)=2反同理/(：)=3方,…，/⑴=

14、lb:./(-)=/>=-J77例4•设函数f(/)定义于实数集上，对丁•任意实数儿y,f(/+y)二f(x)f(y)总成立,且存在西工兀2,使得/(xJh/(x2),求函数f^x)的值域。解：令A=y=0,有/(0)=0或f(0)二1。若/(0)=0,则f{x)=/(0+x)-f{x)/(0)=0怛成立，这与存在实数兀]h兀2，使得/(西)工/(兀2)成立矛盾，故f(0)H0,必有A0)=lo由于-f{x)Ay)对任意实数儿y均成立，因此,又因为若f(x)=0,则f(0)=/U-^)=/V)心