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1、抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(kHO)f(x+y)二f(x)+f(y)幕函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或fxf(x)]yf(y)指数函数f(x)二a"(a〉0且aHl)f(x+y)=f(x)f(y)[或心y)_3f(y)对数函数f(x)=log“x(且＞0且aHl)f(xy)=f(x)+f(y)L或f(—)=f(x)-f(y)Jy正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanxf(x+y)=F(x)+F®)l-f(x)f(y)余切函数f(x)=cotxf(x
2、)+f(y)一.定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1・若函数y二f(x)的定义域是[一2,2],则函数y二f(x+1)+f(x—l)的定义域为练习：已知函数f(x)的定义域是[-1,2],求函数/iogl(3-^的定义域。2丿例2：已知函数y(log3X)的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域。练习：定义在(3,8]±的函数f(x)的值域为[-2,2],若它的反函数为f"(x),则y=rJ(2-3x)的定义域为,值域为o二、求值问题——抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.①对任意实
3、数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(l)HO,则f(2001)二②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f_1(x),由y=f(x+1)与y=f_1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意xWR都有f(x+5)Mf(x)+5,f(x+1)Wf(x)+l.若g(x)=f(x)+l-x,则g(2002)=.练习:1.f(x)的定义域为(0,+oo),对任意正实数x,y都有f(xy)二f(x)+f(y)且f(4)=2，则『(仁2•如果f(*=fW(y)，且f⑴=
4、2,贝喘+鬻+鬻+•••+牆的值是.严⑴+/'(2),/2(2)+几4)严(3)+/⑹，/2(4)+/(8)/(I)/⑶/(5)/(7)3、对任意整数无』函数y=f(x)满足：/(x+y)=/U)+/(y)+xy+l,若/(I)=1,贝ij/(-8)=A.-1B.1C.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对"R都有/(x+6)=/(%)+/(3)成立,若/(1)二2,则/(2005)=()A・2005B.2C.1D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f_I(x),又Y二f(x)过点(2,1),Y二f(2x)的反函数为Y=f
5、_,(2x),则Y二f气16)为()A)-B)丄C)8D)168166、已知a为实数,506、2)=(1_a)f(x)+af(y)(1)求a的值⑵求/(*)的值三、值域问题例4.设函数f(x)定义丁•实数集上，对丁•任意实数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在兀】^x2,使得/(xj*f(x2)9求函数f(x)的值域。四、求解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法,例5.已知f(1+sinx)二2+sinx+co
7、s'x,求f(x)例6、设对满足xHO,xH1的所有实数x,函数f(x)满足，/(兀)+/(王11)=1+兀，求f(x)的解析式。例7.己知f(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件：①f(n)>O,nEN;②f(n.+n2)二f(nJf(n2),nbn2eN*;③f(2)二4同时成立？若存在，求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.a1例9、已知/•(%)是定义在R上的偶函数，且/(x--)=f(x+~)恒成立，当xw[2,3]时，/(x)=x,则XG
8、(-2,0)时，函数/(兀)的解析式为()A.x—2
9、B・
10、x+4
11、C・2+
12、x+1
13、D・3—x+11少练习：1、设y=f(x)是实数函数即x,f(x)为实数)，且f(x)-2f(—)=x,求证:
14、f(x)
15、>-V2.x32.(重庆)已知定义域为R的函数f(x)满足心(0一#+兀(【)若/(2)=3,求A1);又若Ao)=a9求f(a)；(II)设有且仅有一个实数也，使得fg)二及,求函数fd)的解析表达式。3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)二(x+2y+l)x成立，且A1)=O,(1)求/⑪的值；(2)对任意的X
16、W
17、(O,*),x2e(0,^-),都有Oi)+2〈/og必成立时，求臼的取值范围.五、单调性问题(抽象函数的单调性多用定义法解决)例10.设函数f(x)对任意实数x,
