2014高中数学抽象函数专题

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1、2014高三数学专题抽象函数特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或]指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=cotx一.定义域问题--------多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y=f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y=f（x+

2、1）+f（x－1）的定义域为。解：f(x)的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是，求函数的定义域。例2：已知函数的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。评析：已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。练习：定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为，值域为。二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+

3、y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)=f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R上的函

4、数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5,又f(x+1)≤f(x)+1，所以g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1，即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002

5、)=1.练习：1.f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则（）2.。2000.(,原式=16)3、对任意整数函数满足：，若，则CA.-1B.1C.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（）（B）A.2005B.2C.1D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（）（A）A）B）C）8D）16三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总

6、成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1(0≤u≤2)

7、,则f(u)=-u2+3u+1(0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1(0≤u≤2)例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,,求f(x)的解析式。解:----（2）---（3）例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，代入比较系数得:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n